Question

7．如圖所示，水平軌道AB段粗糙，長為L=0.2m，BC和半圓軌道均可視為光滑，在左端豎直墻上固定一輕質彈簧，有一可視為質點的小球，小球質量m=1kg，與軌道間動摩擦因數(shù)μ=0.6，現(xiàn)將小球壓縮輕質彈簧至A點后由靜止釋放 （小球和彈簧不粘連），發(fā)現(xiàn)小球剛好能沿半圓軌道內側滑下，C點為軌道的最高點，D點為軌道的最低點．小物塊離開D點后，做平拋運動，恰好垂直于傾斜擋板打在擋板跟水平面相交的E點．已知半圓軌道的半徑R=0.9m，D點距水平面的高度h=0.75m，取g=10m/s²，試求：
（1）壓縮的彈簧所具有的彈性勢能；
（2）小物塊經(jīng)過D點時對軌道壓力的大��；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求的C點速度，從A到C由動能定理即可求得；
（2）從C到D由動能定理求的D點速度，根據(jù)牛頓第二定律即可求得作用力；
（3）從D點做平拋運動，利用運動學公式即可求得

解答 解：（1）設小物塊經(jīng)過C點時的速度大小v₁，因為經(jīng)過C時恰好能完成圓周運動，
由牛頓第二定律可得：$mg=m\frac{v_1^2}{R}$，
解得v₁=3m/s
小物塊由A到C過程，由能量守恒得：Ep=μmgL+$\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得壓縮的彈簧所具有的彈性勢能Ep=5.7J         
（2）設小物塊經(jīng)過D點時的速度為v₂，對由C點到D點的過程，
由動能定理得：$mg•2R=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
小物塊經(jīng)過D點時，設軌道對它的支持力大小為F_N，
由牛頓第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v_2^2}{R}$
聯(lián)立解得F_N=60N，${v_2}=3\sqrt{5}m/s$
由牛頓第三定律可知，小物塊對軌道的壓力大小為：F′_N=F_N=60N
故小物塊經(jīng)過D點時對軌道的壓力大小為60N；
（3）小物塊離開D點做平拋運動，設經(jīng)時間t打在E點，由$h=\frac{1}{2}g{t^2}$得：$t=\frac{{\sqrt{15}}}{10}s$
設小物塊打在E點時速度的水平、豎直分量分別為v_x、v_y，速度跟豎直方向的夾角為α，
則：v_x=v₂、v_y=gt
  又$tanα=\frac{v_x}{v_y}=\sqrt{3}$
聯(lián)立解得α=60°
再由幾何關系可得θ=α=60°    
故傾斜擋板與水平面的夾角為θ為60°．
答：（1）壓縮的彈簧所具有的彈性勢能為5.7J         
（2）小物塊經(jīng)過D點時對軌道壓力的大小為60N；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ為60°．

點評 本題考查了多過程運用問題，關鍵理清物塊在整個過程中的運動規(guī)律，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結合動能定理和能量守恒進行求解．