Question

15．質(zhì)量為1.0kg的小球沿光滑的圓軌道在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道的半徑為10m．若小球在軌道的最低點(diǎn)的重力勢(shì)能是50J，則小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最小值是60N，小球具有的機(jī)械能最少是300J．

Answer 1

分析 當(dāng)小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，通過最高點(diǎn)的速度最小，通過最低點(diǎn)的速度也最小，小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力即最�。�先由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最小速度，由機(jī)械能守恒定律求最低點(diǎn)的最小速度，再由牛頓第二定律、第三定律結(jié)合求出小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最小值．結(jié)合最小動(dòng)能，得到最小的機(jī)械能．

解答 解：設(shè)小球通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的最小速度分別為v₁和v₂．
在最高點(diǎn)，由重力等于向心力，得 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得，小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最小值 N=6mg=60N
且 v₂=$\sqrt{5gR}$=10$\sqrt{5}$m/s
小球具有的機(jī)械能最少是 E=E_p+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=50+$\frac{1}{2}×1×（10\sqrt{5}）^{2}$=300J
故答案為：60，300．

點(diǎn)評(píng) 本題與繩子模型類似，要明確小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，可求得最高點(diǎn)的臨界速度．