Question

9．“太空粒子探測(cè)器”是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成，其原理可簡(jiǎn)化如下：如圖1所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為O，外圓弧面AB的半徑為L(zhǎng)，電勢(shì)為φ₁，內(nèi)圓弧面CD的半徑為$\frac{L}{2}$，電勢(shì)為φ₂．足夠長(zhǎng)的收集板MN平行邊界ACDB，O到MN板的距離OP為L(zhǎng)．假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開(kāi)始加速，不計(jì)粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ右�力的影響�?br />
（1）求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小：
（2）如圖2所示，在邊界ACDB和收集板MN之間加一個(gè)半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心為O，半徑為L(zhǎng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，則發(fā)現(xiàn)從AB圓弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上（不考慮過(guò)邊界ACDB的粒子再次返回），求所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）隨著所加磁場(chǎng)大小的變化，試定量分析收集板MN上的收集效率η與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系．若收集效率是0，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理即可求出粒子到達(dá)O點(diǎn)的速度；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌跡求出粒子的半徑，然后由洛倫茲力提供向心力即可求解；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何知識(shí)求得粒子的收集率與粒子圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角的關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系求得收集率為0時(shí)對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，電場(chǎng)力做功，得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²-0
U=φ₁-φ₂
所以：v=$\sqrt{\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}}$…①
（2）從AB圓弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，則剛好不能打到MN上的粒子從磁場(chǎng)中出來(lái)后速度的方向與MN平行，則入射的方向與AB之間的夾角是60°，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2，軌跡圓心角θ=60°
根據(jù)幾何關(guān)系，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=L…②
由洛倫茲力提供向心力得：qvB=m $\frac{{v}^{2}}{r}$
代入①②兩式可解得：
B₀=$\frac{mv}{qL}$=$\frac{1}{L}•\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}$
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑減小，由幾何關(guān)系知，收集效率變��；設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為α，如圖3

由幾何關(guān)系可知，sin $\frac{α}{2}$=$\frac{\frac{L}{2}}{r}$=$\frac{LBq}{2mv}$
收集板MN上的收集效率η=$\frac{π-α}{π}$
所以當(dāng)α=π時(shí)η=0
又α=π時(shí)，有sin $\frac{α}{2}$=1
即：B=$\frac{2mv}{qL}$=$\frac{2m•\sqrt{\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}}}{qL}$=$\frac{2}{L}•\sqrt{\frac{2m（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$時(shí)收集率為0．
答：（1）求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小為 $\sqrt{\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}}$：
（2）如圖2所示，在邊界ACDB和收集板MN之間加一個(gè)半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心為O，半徑為L(zhǎng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，則發(fā)現(xiàn)從AB圓弧面收集到的粒子有 $\frac{2}{3}$能打到MN板上（不考慮過(guò)邊界ACDB的粒子再次返回），所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 $\frac{1}{L}•\frac{2q（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{m}$；
（3）隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加面減小，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{2}{L}•\sqrt{\frac{2m（{φ}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$ 收集率為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的加速和磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．