Question

12．如圖所示，在第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E=4.0×10⁶N/C，緊靠y軸存在一方形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=0.2T，方向垂直坐標(biāo)平面內(nèi)．在第四象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=$\frac{4}{3}$×10^-1T，方向垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場．P是y軸上坐標(biāo)為（0，1）的一點(diǎn)，比荷為1.5×10⁸C/kg的粒子以平行于x軸速度v₀從y軸上的P點(diǎn)射入，粒子沿直線通過電場，磁場疊加場區(qū)域，然后經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)，從x軸上Q點(diǎn)射入勻強(qiáng)磁場B₂．粒子剛好到達(dá)y軸上某點(diǎn)C（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．求：
（1）粒子射出的初速度v₀以及離開x軸時(shí)的速度；
（2）求Q點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再次回到y(tǒng)軸的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電磁場中做直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件求出粒子的速度，由牛頓第二定律與勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出豎直分速度，然后求出粒子離開電場時(shí)的速度．
（2）由牛頓第二定律求出粒子軌道半徑，然后由幾何知識(shí)求出Q、C的坐標(biāo)．
（3）分三段，分別由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場中做直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場力相等，
由平衡條件得：qE=qv₀B₁，代入數(shù)據(jù)解得：v₀=2×10⁷m/s，
粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上，由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v_y²=2$\frac{qE}{m}$y_P，
粒子離開電場時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=4×10⁷m/s，cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{2×1{0}^{7}}{4×1{0}^{7}}$=$\frac{1}{2}$，則：θ=60°；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力．
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 R=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：R=20m
由幾何知識(shí)可知，x_Q=R+Rsin60°=（20+10$\sqrt{3}$）m，y_C=Rcos60°=10m；
Q點(diǎn)的坐標(biāo)（20+10$\sqrt{3}$，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0．-10）；
（3）設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．則t₂=$\frac{{v}_{y}}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{{v}_{0}tanθ}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2×1{0}^{7}×tan60°}{1.5×1{0}^{8}×4×1{0}^{6}}$s=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10^-7s
電場中水平位移大小 x₂=v₀t₂=2×10⁷×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10^-7m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m
粒子在電磁場疊加區(qū)中，水平位移為 x₁=x_Q-x₂=（20+10$\sqrt{3}$）m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m≈36.2m
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{{x}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{36.2}{2×1{0}^{7}}$s≈1.81×10^-6s
在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₃=$\frac{\frac{2}{3}πR}{v}$≈1.0×10^-6s
故總時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃≈3.38×10^-6s．
答：
（1）粒子射出的初速度v₀為2×10⁷m/s，離開x軸時(shí)的速度大小為4×10⁷m/s，方向：與x軸正方向成60°；
（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)（20+10$\sqrt{3}$，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0．-10）．
（3）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再次回到y(tǒng)軸的時(shí)間是3.38×10^-6s．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．