Question

10．如圖所示，光滑的水平面上有一質(zhì)量M=9kg的木板，其右端恰好和$\frac{1}{4}$光滑固定網(wǎng)弧軌道AB的底端等高對(duì)接（木板的水平上表面與圓弧軌道相切），木板右端放有一質(zhì)量m₀=2kg的物體C（可視為質(zhì)點(diǎn)），已知圓弧軌道半徑R=0.9m．現(xiàn)將一質(zhì)量m=4kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），由軌道頂端A點(diǎn)無初速釋放，滑塊滑到B端后沖上木板，并與木板右端的物體C粘在一起沿木板向左滑行，最后恰好不從木板左端滑出．已知滑塊與木板上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.25，物體C與木板上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1．取g=10m/s²．求：
（1）滑塊到達(dá)圓弧的B端時(shí)，軌道對(duì)它的支持力大小F_N．
（2）木板的長度l．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)它的支持力．
（2）滑塊滑上木板后，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，若兩者速度相等時(shí)，一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，求出速度相等時(shí)的共同速度，由能量守恒定律對(duì)系統(tǒng)研究列式，求出木板的長度l．

解答 解：（1）滑塊從A端下滑到B端，由機(jī)械能守恒得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.9}$=$3\sqrt{2}$m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$    
解得軌道對(duì)滑塊的支持力為：F_N=3 mg=3×4×10=120 N   
由牛頓第三定律可知，滑塊對(duì)軌道的壓力為120 N 
（2）滑塊滑上木板后，滑塊與木板右側(cè)的物體C發(fā)生碰撞，以向左為正方向，設(shè)碰撞后共同的速度為v₁，則：
mv₀=（m+m₀）v₁
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{1}=2\sqrt{2}$m/s
對(duì)滑塊、物塊C以及木板，三者組成的系統(tǒng)沿水平方向的動(dòng)量守恒，設(shè)末速度為v₂，由動(dòng)量守恒有：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂，
由能的轉(zhuǎn)化和守恒得：（μ₁m+μ₂m₀）•gl=$\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（M+m+{m}_{0}）{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：l=1.2m
答：（1）滑塊到達(dá)圓弧的B端時(shí)，軌道對(duì)它的支持力大小為120N．
（2）木板的長度是1.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合應(yīng)用，根據(jù)能量守恒定律求解滑塊相對(duì)木板滑行的距離是常用的方法．