Question

3．如圖所示，半徑R=0.80m的四分之一   光滑圓弧軌道豎直固定，過最低點(diǎn)的半徑OC處于豎直位置．其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與C等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．轉(zhuǎn)筒的軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開始時(shí)小孔也在這一平面內(nèi)的圖示位置．今讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點(diǎn)由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點(diǎn)，但未反彈，在瞬問碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為O，而沿切線方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)觸動(dòng)光電裝置，使轉(zhuǎn)簡立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來，且小物塊最終正好進(jìn)入小孔．已知A、B到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角均為θ=30°，不計(jì)空氣阻力，g取l0m/s²．求：
（1）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L；
（2）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)幾何關(guān)系求得碰后小球速度，從B到C得運(yùn)動(dòng)過程中運(yùn)用動(dòng)能定理求得到達(dá)C的速度，小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解；
（2）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．

解答 解：（1）由題意可知，ABO為等邊三角形，則AB間距離為R，小物塊從A到B做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 
v_B²=2gR，v_B切=v_Bsin60°
從B到C，只有重力做功，據(jù)機(jī)械能守恒定律有$mgR（1-cos60°）+\frac{1}{2}mv_{B切}^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有${F'_C}-mg=\frac{mv_C^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得${v_C}=2\sqrt{5}m/s，{F'_C}=3.5N$
滑塊從C點(diǎn)到進(jìn)入小孔的時(shí)間：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
L-r=v_Ct 
則L=r+v_Ct=0.2（1+4$\sqrt{5}$） m
（2）在小球平拋的時(shí)間內(nèi)，圓桶必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆入小孔；
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）
則$ω=\frac{2nπ}{t}=5nπ（n=1，2，3$…）
答：（1）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L為0.2（1+4$\sqrt{5}$） m；
（2）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為5nπ（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，考查了圓周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜，難度較大．