Question

9．一宇航員到達(dá)半徑為R，密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)，用不可伸長(zhǎng)的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定為O點(diǎn)，如圖所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力大小F隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示．若F₁的大小等于7F₂，且設(shè)R，m，引力常量為G，F(xiàn)₁為已知量，忽略各種阻力，則以下說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}}{7m}$
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 星球的質(zhì)量為$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$
• D． 小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由向心力的公式和整個(gè)過(guò)程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量；
（4）對(duì)小球在最高點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律分析求解問(wèn)題．

解答 解：A、設(shè)小球在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)的拉力為F₁，速度為v₁，則
  F₁-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$ ①
設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線(xiàn)的拉力為F₂，速度為v₂，則
  F₂+mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$②
由機(jī)械能守恒定律得 mg2r+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²  ③
由①、②、③解得
  g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$④
F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}}{7m}$．故A正確．
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B錯(cuò)誤．
C、在星球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力
 G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$，故C正確．
D、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
  F₂+mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$≥mg
所以小球在最高點(diǎn)的最小速v₂≥$\sqrt{gR}$．故D錯(cuò)誤．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．