Question

15．如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都記為n（n=1、2、3、…）．每人只有一個(gè)沙袋，x＞0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m=14kg，x＜0一側(cè)每隔沙袋質(zhì)量為m′=10kg，一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正x方向滑行，不計(jì)軌道阻力．當(dāng)車每經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向，沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號(hào)數(shù)）．
（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個(gè)？

Answer 1

分析 （1）采用虛設(shè)法依題意，空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)就反向滑行，然后由動(dòng)量守恒定律即可求出；
（2）再設(shè)向x負(fù)方向運(yùn)行時(shí)虛設(shè)一中間狀態(tài)v=0，設(shè)拋n′個(gè)m′沙袋后車速為零，代入動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)就反向滑行，說(shuō)明車的速度由向右變?yōu)橄蜃螅�于是我們可虛設(shè)一個(gè)中間狀態(tài)：v=0，設(shè)拋第n個(gè)沙袋前車的速度為v_n-1，則拋第n個(gè)沙袋的速度為2n•v_n-1，拋后小車速度為零，由動(dòng)量守恒可得：
[M+（n-1）m]v_n-1-2nm•v_n-1=0
　　解得：n=$\frac{34}{14}$，因沙袋必須是整數(shù)，所以空車出發(fā)后堆積三個(gè)沙袋車就反向滑行．
　　（2）再設(shè)向x負(fù)方向運(yùn)行時(shí)虛設(shè)一中間狀態(tài)v=0，設(shè)拋n′個(gè)m′沙袋后車速為零，則由動(dòng)量守恒定律得：[M+3m+（n′-1）m′]v_n′-2n′m′v_n-1=0
　　解得：n′=8，
故車上最終有大小沙袋：N=n+n′=3+8=11個(gè)．
答：（1）空車出發(fā)后，車上堆積了3個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行；
（2）車上最終有大小沙袋共11個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是選取研究對(duì)象并尋找反向的條件．車反向的條件是由速度大于零變到速度小于零，而在本題解的過(guò)程中，用“虛設(shè)法“虛設(shè)了臨界狀態(tài)速度等于零，抓住這一臨界狀態(tài)并合理選取研究對(duì)象；把車和（n-1）個(gè)扔到車上的沙袋及第n個(gè)要扔到車上的沙袋作為一個(gè)系統(tǒng)，是正確解答該類運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化問(wèn)題的關(guān)鍵．本題也可不設(shè)速度為零的臨界狀態(tài)，而用V_n-1＞0和v_n＜0討論分析．