Question

17．（1）在某星球的表面上有一傾角為θ的斜面，如圖，從斜面上的A點以v水平拋出一物體，物體經(jīng)過時間t落在斜面上，已知該星球半徑為R，求該星球上的第一宇宙速度？
（2）若有一人造衛(wèi)星繞該星球做勻速圓周運動，軌道距地面的高度等于該星球半徑的1.5倍，星球半徑為6.4×10⁶m，星球表面附近的重力加速度g₀=π²m/s²．求這顆人造衛(wèi)星的周期是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動的規(guī)律求星球表面的重力加速度，再求星球的第一宇宙速度
（2）在地球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動向心力展開討論即可．

解答 解：（1）根據(jù)平拋運動的規(guī)律有：x=vt①
$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$②
根據(jù)幾何關(guān)系有：$tanθ=\frac{y}{x}③$
代入數(shù)據(jù)得$tanθ=\frac{gt}{2v}$
即$g=\frac{2vtanθ}{t}$
根據(jù)$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
第一宇宙速度：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2vRtanθ}{t}}$
（2）人造衛(wèi)星的軌道半徑r=R+h=2.5R
根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
在星球表面重力等于萬有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$
聯(lián)立解得$T=\sqrt{\frac{{4π}_{\;}^{2}（2.5R）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（2.5R）_{\;}^{3}}{{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}}$=$2×1{0}_{\;}^{4}s$
答：（1）該星球上的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2vRtanθ}{t}}$
（2）這顆人造衛(wèi)星的周期是$2×1{0}_{\;}^{4}s$

點評 本題抓住萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運動向心力來解決問題，掌握規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．