Question

如圖所示，虛線 l_ll₂、將無重力場(chǎng)的空間分成三個(gè)區(qū)域，I 區(qū)內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B_l，Ⅱ區(qū)內(nèi)以水平線 CO 為分界，上方存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，下方存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₃Ⅲ區(qū)內(nèi)存在以l₂為左邊界、右邊無界的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，在 I 區(qū)內(nèi)有一段粗糙、長(zhǎng)為 L 的水平放置塑料直管道 AC，一可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球（直徑比管內(nèi)徑略�。┑馁|(zhì)量為 m、帶電量為 q，現(xiàn)將小球從管道內(nèi) A 處由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)至管道內(nèi)離 A 點(diǎn)距離為 L 的 B 點(diǎn)處時(shí)達(dá)到穩(wěn)定速度 v，后進(jìn)入Ⅱ區(qū)向下偏轉(zhuǎn)，從邊界l₂上的 D 點(diǎn)進(jìn)入Ⅲ區(qū)，此時(shí)速度方向與水平方向的夾角為β，最后小球恰能無碰撞的從 C處進(jìn)入管道．已知：=0.01C/kg，E₁=l00N/C，E₂=E₃=300N/C，β=60，B_l=10³T，L=5m L =4m小球與管道間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，求：
（ l ）小球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定速度 v 值；
（ 2 ）Ⅲ區(qū)內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng) B₂的值； 
（ 3 ）從 A 處開始至從 C 處進(jìn)入管道的過程中，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球開始在管道內(nèi)做加速直線運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增加，洛倫茲力增大，摩擦力最大；當(dāng)摩擦力和電場(chǎng)力相等時(shí)，小球開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．由力的平衡可求出小球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定速度 v 值．
（2）小球在Ⅱ區(qū)內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓運(yùn)動(dòng)定律可求出在電場(chǎng)方向上的位移d，在Ⅲ區(qū)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)半徑R，洛倫茲力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式可求出Ⅲ區(qū)的磁場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）解決此問要仔細(xì)分析運(yùn)動(dòng)過程，把這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分段，計(jì)算出每段的時(shí)間便可求出總時(shí)間．
解答：解：
（1）小球在管道內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，合力為零，在水平方向上有：
         qE₁=μqvB₁
         解得：
（2）小球在從C到D的過程中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，在D點(diǎn)時(shí)豎直方向上的分速度為v_y，OD間的距離為d，在D點(diǎn)時(shí)，速度關(guān)系為：
        
代入數(shù)據(jù)解得：
       
在豎直方向上，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
        
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
         qE₃=ma
以上兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：
          d=0.5m
根據(jù)題意，為保證小球能無碰撞的從C處進(jìn)入管道，小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧是關(guān)于CO對(duì)稱的，圓心O'必在CO的延長(zhǎng)線上．（如圖所示）
由幾何關(guān)系得：
         
         
小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是洛倫茲力，有：
        
代入數(shù)據(jù)解得：
         B₂=200T
（3）小球從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過程做變加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球從A運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)所需要的時(shí)間為t₁，由牛頓第二定律得：
        
由動(dòng)量定理有：
∑（qE₁△t）-∑（μqvB₁△t）=∑（m△v）
        即為：qE₁t₁-μqB₁L=mv
帶入數(shù)據(jù)解得：t₁=5s
小球從B勻速運(yùn)動(dòng)到C所需的時(shí)間為：
        
小球在Ⅱ區(qū)的運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：
        
小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
       
則小球從A處開始至從C處進(jìn)入管道的過程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為：
        t=t₁+t₂+t₃+t₄=9.77s
答：（1）小球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定速度為1m/s．
    （2）Ⅲ區(qū)內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng) B₂的值為200T． 
    （3）從 A 處開始至從 C 處進(jìn)入管道的過程中，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9.77s．
點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合運(yùn)用牛頓定律、動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等知識(shí)的能力．
解答本題的關(guān)鍵是對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分段分析，分析每段中的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，必要時(shí)做出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，再進(jìn)行細(xì)心的計(jì)算．
解答本題要求要有較強(qiáng)的物理問題分析能力和較強(qiáng)的計(jì)算力．