Question

2．假設(shè)站在赤道某地的人，恰能在日落后1小時的時候，觀察到一顆自己頭頂上空被陽光照亮的人造地球衛(wèi)星．若該衛(wèi)星是在赤道所在平面做勻速圓周運(yùn)動，又已知地球的同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．求：
（1）此人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期為多少？
（2）經(jīng)過多長時間該衛(wèi)星再次出現(xiàn)在人頭頂正上空？

Answer 1

分析 （1）作出衛(wèi)星與地球之間的幾何關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系確定衛(wèi)星的軌道半徑．設(shè)此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T₁，地球的運(yùn)行周期為T₂，則地球同步衛(wèi)星的周期也為T₂，依據(jù)常識我們可以知道T₂=24小時．根據(jù)開普勒第三定律求解．
（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空．

解答 解：（1）如圖所示：
太陽光可認(rèn)為是平行光，O是地心，人開始在A點(diǎn)，這時剛好日落，因?yàn)榻?jīng)過24小時地球轉(zhuǎn)一圈，所以經(jīng)過1小時，地球轉(zhuǎn)了15度，即：∠AOC=15°，此時人已經(jīng)到了B點(diǎn)，衛(wèi)星在人的正上方C點(diǎn)，太陽光正好能照到衛(wèi)星，所以根據(jù)∠AOC=15°就能確定衛(wèi)星的軌道半徑為：
$cos15°=\frac{AO}{CO}$
所以：OC=1.035R．
設(shè)此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T₁，地球的運(yùn)行周期為T₂，則地球同步衛(wèi)星的周期也為T₂，依據(jù)常識我們可以知道T₂=24小時．
根據(jù)開普勒第三定律有：：$\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$=$\frac{{（1.035R）}^{3}}{{（6.6R）}^{3}}$
代入數(shù)據(jù)得：T₁=1.49h=5364 s．
（2）設(shè)至少經(jīng)多長t時間衛(wèi)星再次經(jīng)過A點(diǎn)正上空，則：$\frac{2π}{{T}_{1}}•t-\frac{2π}{{T}_{2}}•t=2π$
解得 t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$=$\frac{{T}_{0}T}{{T}_{0}-T}$
代入數(shù)據(jù)得：t=5719s
答：（1）此人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期為5364s；
（2）經(jīng)過5719s的時間該衛(wèi)星再次出現(xiàn)在人頭頂正上空．

點(diǎn)評 這個題的關(guān)鍵就是要我們領(lǐng)會到“恰能在日落后1小時的時候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽光照亮的人造地球衛(wèi)星”，這句話是用來告訴我們求這顆衛(wèi)星的軌道半徑的，依據(jù)它的軌道半徑的比值關(guān)系再求出它的周期與地球周期的比，進(jìn)而解出它的周期．