Question

3．走向太空是人類永恒的夢(mèng)想．宇航員在地球表面以某一初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處；若他在某一星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)5t小球落回原處．（已知地球表面重力加速度為g、地球半徑為R，空氣阻力不計(jì)）
（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知該星球的半徑與地球的半徑之比為1：4，求星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比，如果在該星球表面發(fā)射衛(wèi)星，其最小發(fā)射速度是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式得出星球表面和地球表面的重力加速度之比，從而求出星球表面的重力加速度．
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，結(jié)合重力加速度之比和星球與地球的半徑之比求出星球質(zhì)量和地球質(zhì)量之比．根據(jù)重力加速度的大小以及星球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出最小發(fā)射速度．

解答 解：（1）地球表面重力加速度g=$\frac{v}{\frac{t}{2}}$，星球表面重力加速度$g′=\frac{v}{\frac{5t}{2}}$，則$\frac{g′}{g}=\frac{1}{5}$，
解得$g′=\frac{1}{5}g$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
該星球的半徑與地球的半徑之比為1：4，重力加速度之比為1：5，則星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80．
根據(jù)m$g′=m\frac{{v}^{2}}{R′}$得，最小速度v=$\sqrt{g′R′}=\sqrt{\frac{1}{5}g×\frac{1}{4}R}=\sqrt{\frac{gR}{20}}$．
答：（1）該星球表面附近的重力加速度為$\frac{1}{5}g$；
（2）星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80，其最小發(fā)射速度是$\sqrt{\frac{gR}{20}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用，知道最小發(fā)射速度等于第一宇宙速度．