Question

3．如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質彈簧及長度可調節(jié)的豎直管AB，吸管下端接有一小段長度不計的圓滑管道，上段B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動小球將彈簧壓縮到同一位置后鎖定．解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進細管A端，再沿管ABC從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.3m，小球的質量為m=50g，每次彈射時彈簧對小球所做的功W=0.6J．不計小球運動中機械能損失．取$\sqrt{8}$=2.8，重力加速度g取10m/s²．

（1）當L=0.5m時，求小球到達管口C處時的速度大小；
（2）當L=0.5m時，小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離；
（3）調節(jié)L時，小球到達管口C時管壁對球的作用力F_N也相應變化，考慮到游戲裝置的實際情況，L不能小于0.15m，請在答題卷的坐標紙上作出F_N隨長度L變化的關系圖線．（取管壁對球的作用力F_N方向向上為正，并要求在縱軸上標上必要的刻度值．）

Answer 1

分析 （1）小球向上到達管口C端的過程中重力做功，根據動能定理即可求出小球到達管口C處時的速度大��；
（2）小球離開C點做平拋運動，根據平拋運動的特點求出小球射程，由數學關系式求小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離；
（3）小球通過C時臨界速度為$\sqrt{gR}$時，小球對管道壁沒有作用力，大于臨界速度時對上管壁有壓力，小球臨界速度時對下管壁有壓力，根據動能定理求出經過C點的速度，根據牛頓第二定律求出管壁對球的作用力與長度L的關系．

解答 解：（1）小球向上到達管口C端的過程中重力做功，根據動能定理：$W-mg（L+R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
可得${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W-mg（L+R）】}{m}}$
代入數據得：v_C=2.8m/s
（2）小球做平拋運動的時間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$
所以小球離開C點做平拋運動的射程
x=${v}_{C}\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$
代入數據得：x=1.12m
由于小球從C點開始平拋，故小離落地點離AB管最遠距離為：L=x+R=1.12+0.3=1.42m；
取向上為正方向則在豎直方向上的合力提供小球在C點圓周運動的向心力：
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
為了使小球到達C處，則需要滿足：
W-mg（L′+R）≥0
即：L′≤0.9m
代入向心力的表達式，可得：
${F}_{N}=mg-m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{10L}{3}-\frac{5}{2}$（0.15≤L≤0.9）
由此作出F_N-L圖象有：
答：（1）當L=0.5m時，小球到達管口C處時的速度大小是2.8m/s；
（2）當L=0.5m時，小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離是1.42m；
（3）如圖．

點評 本題考查了功能關系與平拋運動規(guī)律，掌握小球能過最高點的臨界條件，注意掌握過最高點時的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．