Question

銀河系恒星中大約有四分之一是雙星．某雙星系統(tǒng)由星球A和B組成，兩星球在相互之間的萬(wàn)有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)P做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知A和B的質(zhì)量之比為m_A：m_B=1：2，兩星球的線速度之比為v_A：v_B=

 

；若由天文觀察測(cè)得A星球的周期為T(mén)，AB間距離為r，已知萬(wàn)有引力常量為G，則A星球的質(zhì)量為m_A=

 

．

Answer 1

分析：雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，周期相等．根據(jù)G

mAmB

r2

=mA(

2π

T

)2rA=mB(

2π

T

)2rB，求出軌道半徑比．
角速度相同，根據(jù)v=rω求出線速度之比．根據(jù)A星球的周期為T(mén)，AB間距離為r，可計(jì)算出A和B的軌道半徑，根據(jù)G

mAmB

r2

=mB(

2π

T

)2rB求出A的質(zhì)量．

解答：解：1、雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，周期相等、加速度相等．根據(jù)G

mAmB

r2

=mA(

2π

T

)2rA=mB(

2π

T

)2rB，
則半徑r_A：r_B=m_B：m_A=2：1
所以兩星球的半徑之比為2：1，
根據(jù)v=rω得，
v_A：v_B=r_A：r_B=m_B：m_A=2：1
2、因?yàn)?r_A：r_B=m_B：m_A=2：1
又r_A+r_B=r，
所以r_A=

2

3

r，r_B=

1

3

r，
A、B的周期都為T(mén)，根據(jù)雙星之間的萬(wàn)有引力提供向心力G

mAmB

r2

=mB(

2π

T

)2rB，
所以G

mA

r2

=(

2π

T

)2?

1

3

r
解得：mA=

4π2r3

3GT2

．
故答案為：2：1，

4π2r3

3GT2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，周期相等，角速度相等．根據(jù)m₁r₁=m₂r₂，得出軌道半徑比，以及根據(jù)v=rω，得出線速度之比．