Question

15．如圖所示，小球A以初速v₀沿光滑平臺(tái)向右運(yùn)動(dòng)，豎直靜止懸掛的小球B，恰好與平臺(tái)右端接觸．一水平放置、半徑R=0.5m的薄壁圓桶繞軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=5πrad/s，桶壁上離左端s=0.2m處開(kāi)有一長(zhǎng)度d=0.8m的長(zhǎng)孔，孔寬略大于小球A的直徑．圓桶左端和平臺(tái)右端平齊，頂端距平臺(tái)h=0.8m．若A、B兩球發(fā)生彈性正碰時(shí)（碰撞時(shí)間極短），長(zhǎng)孔恰好運(yùn)動(dòng)到桶的正上方，碰后B上擺，A沿水平方向拋射向長(zhǎng)孔．已知v₀方向、懸線和圓桶的軸線在同一豎直面上，小球B的質(zhì)量為m，A的質(zhì)量是B的k倍，懸線長(zhǎng)L=0.8m，視兩球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²，不考慮空氣阻力．
（1）若k=2，碰后B剛好能擺到與懸點(diǎn)同一高度，試求初速v₀的大��；
（2）試通過(guò)計(jì)算，判斷（1）情形中小球A是否會(huì)和圓桶碰撞；
（3）若v₀取（1）中數(shù)值，小球A落入孔中且不會(huì)與桶壁發(fā)生碰撞，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出碰后B的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出碰撞前A的初速度．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合圓筒的周期分析小球A是否會(huì)和圓筒相碰．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，抓住小球A不與長(zhǎng)孔左邊相碰，以及小球A不與長(zhǎng)孔右邊相碰，結(jié)合動(dòng)量守恒和能量守恒的表達(dá)式求出k的范圍．

解答 解：（1）小球A與B發(fā)生彈性正碰，根據(jù)動(dòng)量守恒定律：
m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B               ①
碰撞過(guò)程無(wú)動(dòng)能損失：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$          ②
其中m_A=km_B，
碰后小球B上擺過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律：
$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}={m}_{B}gL$                    ③
以上三式聯(lián)立，代入數(shù)值得：v₀=3m/s        
v_B=4m/s
v_A=1m/s
（2）碰后小球A做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)下落至圓桶頂端的時(shí)間為t₁，下落至底端的時(shí)間為t₂，有：
$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$                          ④
h+2R=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                     ⑤
解得：t₁=0.4s    t₂=0.6s
i）圓桶轉(zhuǎn)動(dòng)的周期$T=\frac{2π}{ω}$=0.4s，說(shuō)明小球A下落至圓桶頂端時(shí)，長(zhǎng)孔恰好又處于圓桶的正上方．此時(shí)小球A的水平位移x₁=v_At₁=0.4m，s＜x₁＜s+d，說(shuō)明小球恰好能夠落入長(zhǎng)孔，不與桶壁相碰．                                  
ii）小球A在桶內(nèi)下落的時(shí)間△t=t₂-t₁=0.2s=$\frac{T}{2}$，說(shuō)明小球A下落至圓桶底端時(shí)，長(zhǎng)孔又恰好又處于圓桶的正下方．
此時(shí)小球A的水平位移x₂=v_At₂=0.6m，s＜x₂＜s+d，說(shuō)明小球A恰好能夠穿出長(zhǎng)孔，不與桶壁相碰．                             
（3）由（2）中分析知，小球A不與長(zhǎng)孔左邊相碰的條件為：
v_At₁≥s                       ⑥
小球A不與長(zhǎng)孔右邊相碰的條件為：
v_At₂≤s+d                    ⑦
由①②式可得，${v}_{A}=\frac{k-1}{k+1}{v}_{0}$       ⑧
⑥～⑧式聯(lián)立，得1.4≤k≤3.5．
答：（1）初速v₀的大小為3m/s；
（2）小球A是不會(huì)和圓桶碰撞；
（3）k的取值范圍為1.4≤k≤3.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，難度較大，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，尤其第三問(wèn)，需結(jié)合水平位移的范圍分析判斷．