Question

11．如圖所示，在水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌間距離為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在平面，質(zhì)量均為m的兩根金屬桿a、b放在導(dǎo)軌上，a、b桿接入電路的電阻均為r，輕質(zhì)彈簧的左端與b桿連接，右端固定，開始時(shí)a桿以初速度v₀向左運(yùn)動(dòng)，b桿靜止，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，當(dāng)a桿向左的速度為v時(shí)，b桿向左的速度達(dá)到最大值v_m，此過(guò)程中a桿上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，兩根始終垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌接觸良好，求：
（1）b桿速度最大時(shí)，彈簧的彈力大小；
（2）b桿速度最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_p．

Answer 1

分析 （1）由兩棒速度求得電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而求得速度，安培力，再通過(guò)受力平衡求得彈簧彈力；
（2）將彈簧、a桿、b桿當(dāng)成一個(gè)整體，然后利用能量守恒即可求得彈性勢(shì)能．

解答 解：a桿向左運(yùn)動(dòng)，安培力向右，桿做減速運(yùn)動(dòng)，電流減��；
b桿受安培力和彈簧彈力作用，安培力向左且不斷減�。粡椈蓮椓﹂_始為零，桿向左做加速運(yùn)動(dòng)，彈簧彈力增大，直到彈簧彈力等于安培力時(shí)速度達(dá)到最大值，之后桿做減速運(yùn)動(dòng)；
（1）b桿速度最大時(shí)，a桿向左的速度為v，b桿向左的速度為v_m，所以，閉合電路電動(dòng)勢(shì)E=BL（v-v_m），電路中電流$I=\frac{E}{2r}=\frac{BL（v-{v}_{m}）}{2r}$，
所以，b桿受到的安培力${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$，
由受力平衡可得彈簧彈力$F={F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）由于a桿，b桿串聯(lián)，通過(guò)兩桿的電流相等，又有電阻相等，所以，兩桿的電功率相同，所以，a桿上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，b桿上產(chǎn)生的焦耳熱也為Q；
將彈簧、a桿、b桿當(dāng)成一個(gè)整體，對(duì)開始到b桿速度達(dá)到最大值的過(guò)程應(yīng)用能量守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q+{E}_{P}$，
所以，${E}_{P}=\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$；
答：（1）b桿速度最大時(shí)，彈簧的彈力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）b桿速度最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_p為$\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$．

點(diǎn)評(píng) 在閉合電路切割磁感線的問(wèn)題中，一般由速度或磁通量的變化求得電動(dòng)勢(shì)，然后由歐姆定律求得電流，進(jìn)而得到安培力；亦或通過(guò)動(dòng)能定理、能量守恒求得發(fā)熱量．