Question

19．如圖所示，水平傳送帶長(zhǎng)L=2m，以v=1m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)．質(zhì)量為m=4kg的小物體A、B與繞過(guò)定滑輪的輕繩相連，開(kāi)始時(shí)，A位于傳送帶的最右端，B位于傾角θ=37°的光滑斜面上．t=0時(shí)刻A以初速度v₀=3m/s向左運(yùn)動(dòng)，A與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦，繩不可伸長(zhǎng)且有足夠長(zhǎng)度，A在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，它與滑輪間的輕繩始終水平，B始終在斜面上運(yùn)動(dòng)．已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，取$\sqrt{2.6}$=1.6）．求：

（1）t=0時(shí)刻小物體A的加速度a₁的大小和方向；
（2）小物體A向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離S；
（3）小物體A在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻小物塊A的速度大于傳送帶的速度，受到的摩擦力的方向向右，同時(shí)受到向右的拉力，由牛頓第二定律即可求出加速度．
（2）A先以加速度a₁向右左做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為v，接著以加速度a₂向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為0，最后又向左做加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解最遠(yuǎn)距離．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和位移時(shí)間公式求解出物塊與傳送帶間的相對(duì)位移，再求摩擦生熱．

解答 解：（1）開(kāi)始時(shí)小物塊的速度v₀大于傳送帶的速度v，所受的滑動(dòng)摩擦力方向向右，同時(shí)受到向右的拉力，所以A向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律
對(duì)A：T+μmg=ma₁
對(duì)B：mgsin37°-T=ma₁
聯(lián)立以上方程解得：a₁=5m/s²，方向水平向右
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，A的速度與傳送帶相同．則
  t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=0.4s
位移 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t₁=0.8m＜L
因?yàn)樽畲箪o摩擦力 f=μmg＜mgsin37°，所以此后A將繼續(xù)向左減速
對(duì)A、B整體，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mgsin37°-μmg=ma₂．
解得 a₂=1m/s²，方向水平向右
A物體速度減為0的時(shí)間 t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=1s
A的位移 x₂=$\frac{v}{2}{t}_{2}$=0.5m
故A向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離 S=x₁+x₂=1.3m
（3）t₁時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移 x₁′=vt₁=0.4m
A與傳送帶的相對(duì)位移△x₁=x₁-x₁′=0.4m
t₂時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移 x₂′=vt₂=1m
A與傳送帶的相對(duì)位移△x₂=x₂′-x₂=0.5m
物體A向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加速度為a₂，向右運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃后離開(kāi)傳送帶．
由S=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$得 t₃=$\sqrt{2.6}$≈1.6s
t₃時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移 x₃′=vt₃=1.6m
A與傳送帶的相對(duì)位移△x₃=S+x₃′=2.9m
故整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量 Q=μmg（△x₁+△x₂+△x₃）=60.8J
答：
（1）t=0時(shí)刻小物體A的加速度a₁的大小是5m/s²，方向水平向右；
（2）小物體A向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離S是1.3m；
（3）小物體A在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是60.8J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分清過(guò)程是關(guān)鍵，特別注意摩擦力方向的改變，求摩擦生熱時(shí)要用滑動(dòng)摩擦力大小與相對(duì)位移大小相乘．