Question

7．如圖所示，AB為光滑的水平軌道，BC為光滑的半徑為R可以任意調(diào)節(jié)的豎直半圓軌道，二者在同一豎直水平面內(nèi)相切于B點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以初速度v₀從水平軌道進(jìn)入圓軌道，重力加速度為g，求：
（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）欲使小球能夠通過(guò)C點(diǎn)，求R的取值范圍；
（3）小球通過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，R為多少時(shí)小球在水平軌道的落點(diǎn)與B相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球小球的支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）研究小球從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)速度表達(dá)式，在C點(diǎn)，臨界情況是軌道對(duì)小球沒(méi)有作用力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列式得到C點(diǎn)的速度表達(dá)式，再聯(lián)立即可求解．
（3）小球通過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平距離與R的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為F_N，則
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
即得 F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律可知，小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為  F_N′=F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）設(shè)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)C的速度為v_C．小球從B到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
而小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)的速度為v，則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
小球能過(guò)C點(diǎn)必須滿足 v_C≥v
聯(lián)立解得 R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）由（2）可知，小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度為 v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$
小球通過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
  s=v_Ct
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 s=$\sqrt{\frac{4{v}_{0}^{2}}{g}R-16{R}^{2}}$
根式下為二次函數(shù)，因?yàn)?\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$，所以當(dāng)且僅當(dāng) R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$時(shí) s有最大值，且最大值為 s_max=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
答：（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）欲使小球能夠通過(guò)C點(diǎn)，R的取值范圍是R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$；
（3）小球通過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，R為$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$時(shí)小球在水平軌道的落點(diǎn)與B相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)情況，然后分過(guò)程運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．