Question

8．如圖所示，AB是傾角為θ=45°的傾斜軌道，BC是一個(gè)水平軌道（物體經(jīng)過(guò)B處時(shí)無(wú)機(jī)械能損失），AO是一豎直線，O、B、C在同一水平面上．豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道最低點(diǎn)與水平面相切于C點(diǎn)，已知：A、O兩點(diǎn)間的距離為h=1m，B、C兩點(diǎn)間的距離d=2m，圓形軌道的半徑R=1m．一質(zhì)量為m=2kg 的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），從與O點(diǎn)水平距離x₀=3.6m的P點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道．小物體與傾斜軌道AB、水平軌道BC之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都是μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．
（1）求小物體從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度v₀和P點(diǎn)的高度H；
（2）求小物體運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最點(diǎn)D時(shí)，對(duì)圓形軌道的壓力大��；
（3）若小物體從Q點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，求Q、O兩點(diǎn)的水平距離x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小物體從P到A做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，分析得到豎直分速度與水平分速度大小相等，由速度位移關(guān)系公式列式．再根據(jù)水平位移公式列式，聯(lián)立求解即可．
（2）研究P到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理求出物體經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度，再由牛頓第二、第三定律結(jié)合得到物體對(duì)軌道的壓力．
（3）小物體不能脫離軌道有兩種情況：一種做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，另一種只在下半個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)．求出最高點(diǎn)的臨界速度．由機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合解答．

解答 解：（1）小物體從P到A做平拋運(yùn)動(dòng)，由題知，物體經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度平行于斜面向下，設(shè)物體經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度大小為v_y．
則有 v_y=v₀tan45°=v₀；
又 v_y=$\sqrt{2g（H-h）}$，得 $\sqrt{2g（H-h）}$=v₀；
水平距離 x₀=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}$
聯(lián)立解得 v₀=6m/s，H=2.8m
（2）物體從P到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mg（H-2R）-μmgcos45°•$\sqrt{2}$h-μmgd=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得
mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=24N
由牛頓第三定律知，物體對(duì)圓形軌道的壓力大小為24N．
（3）要保證小物體不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：第一種情況，能通過(guò)最高點(diǎn)D．第二種情況，所能到達(dá)的最高點(diǎn)小于等于圓心的高度．
第一種情況，小球能通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)
設(shè)O、Q的水平距離為x₁，恰好通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)D．
小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A點(diǎn)以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問(wèn)可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度 v′_A=$\sqrt{2g{x}_{1}}$
恰好通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)D時(shí)，只有重力充當(dāng)向心力，得 mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
由動(dòng)能定理得
-mg（2R-h）-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=$\frac{1}{2}mv{′}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{′}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 x₁=3m
小物體能通過(guò)最高點(diǎn)D，所以O(shè)、Q的水平距離 x≥x₁=3m
第二種情況，所能到達(dá)的高度小于等于圓心的高度時(shí)，設(shè)O、Q的水平距離為x₂，恰好到達(dá)圓心高度．
小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A點(diǎn)以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問(wèn)可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度 v″_A=$\sqrt{2g{x}_{2}}$
恰好到達(dá)圓心的高度時(shí)，末速度為0
由動(dòng)能定理得
-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=0-$\frac{1}{2}mv{″}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 x₂=1.5m
設(shè)O、Q的水平距離為x₃時(shí)，恰好到達(dá)圓形軌道處
小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問(wèn)可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度 v″′_A=$\sqrt{2g{x}_{3}}$
恰好到達(dá)圓形軌道時(shí)，到C點(diǎn)的速度為0．
由動(dòng)能定理得
-mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=0-$\frac{1}{2}mv″{′}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 x₃=0.5m
小物體能進(jìn)入圓形軌道，不脫離，O、Q的水平距離應(yīng)滿足：0.5m＜x≤1.5m
綜上所述，若小物體從Q點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，Q、O兩點(diǎn)的水平距離x的取值范圍為：
0.5m＜x≤1.5m或x≥3m．
答：
（1）小物體從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度v₀是6m/s，P點(diǎn)的高度H是2.8m．
（2）小物體運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最點(diǎn)D時(shí)，對(duì)圓形軌道的壓力大小是24N．
（3）若小物體從Q點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，Q、O兩點(diǎn)的水平距離x的取值范圍為：
0.5m＜x≤1.5m或x≥3m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，抓住隱含的臨界情況和臨界條件，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源．要注意考慮問(wèn)題要全面，不能漏解．