Question

18．如圖所示，斜面直軌道是粗糙的，大、小圓軌道光滑且均與斜面直軌道相切，其中小圓軌道半徑為R，切點(diǎn)分別為C、B，圓形軌道的出入口錯(cuò)開，大、小圓軌道的最高點(diǎn)跟斜面的最高點(diǎn)在同一水平線上，斜面直軌道的傾角為60°．今有一質(zhì)量為m的小球自A以初速度v₀沿斜面滑下，運(yùn)動(dòng)到B后進(jìn)入小圓形軌道，接著再沿斜面下滑進(jìn)入大圓形軌道運(yùn)動(dòng)，小球與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求：
（1）若小球恰能到達(dá)大圓軌道的最高點(diǎn)，求v₀的值．
（2）在v₀滿足（1）的前提條件下，求小球在小圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出大圓的半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，通過動(dòng)能定理求出初速度應(yīng)滿足的條件．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在小圓軌道最高點(diǎn)的速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出彈力的大�。�

解答 解：（1）設(shè)C處圓形軌道的半徑為R′，則由幾何關(guān)系可知，A到B處圓軌圓心的距離為：
AO₁=$\frac{R}{sin30°}$=2R，
而且 $\frac{R′}{3R+R′}$=sin30°，
解得：R′=3R，
斜面軌道AB=Rcot30°=$\sqrt{3}$R=S₁…①
AC=3Rcot30°=3$\sqrt{3}$R=S₂…②
小球由A到C處圓形軌道的最高點(diǎn)的過程由動(dòng)能定理有：
-μmgcos60°•S₂=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²…③
由于小球恰能到達(dá)C處圓軌道的最高點(diǎn)，故v=$\sqrt{gR′}$=$\sqrt{3gR}$…④
聯(lián)立①②③④解得：v₀=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$…⑤
（2）設(shè)小球到達(dá)B處圓形軌道的最高點(diǎn)的速度為v₁，
小球由A到B處圓形軌道最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理有：
-μmgcos60°•S₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑥
設(shè)小球在B處圓形軌道最高點(diǎn)受軌道壓力為F_N，
由牛頓第二定律可知，F(xiàn)_N+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…⑦
聯(lián)立①⑤⑥⑦解得：F_N=3mg．
答：（1）小球恰能到達(dá)大圓軌道的最高點(diǎn)，則v₀應(yīng)滿足大于或等于$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$；
（2）小球在小圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)受到的軌道的彈力大小是3mg．

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵，本題對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．