Question

2．如圖所示，豎直固定的軌道內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端固定在水平地面上．質(zhì)量為m的物體可沿軌道上、下運(yùn)動(dòng)，物體與軌道間的最大摩擦力和動(dòng)摩擦力大小都為f=$\frac{mg}{4}$．已知彈簧彈性勢(shì)能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量（即彈簧伸長(zhǎng)或縮短的長(zhǎng)度），彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，物體在距離彈簧為H的高度從靜止下落．試求：
（1）物體從靜止開(kāi)始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）物體到達(dá)最低位置時(shí)，求彈簧的最大形變量x；
（3）物體到達(dá)最低位置后能否回彈？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，請(qǐng)求出從最低位置第一次回彈
的高度h．

Answer 1

分析 （1）小球開(kāi)始時(shí)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式即可求出下落的時(shí)間；
（2）小球接觸彈簧開(kāi)始，合力向下，向下做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，合力為零，加速度為零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，速度為零，根據(jù)功能關(guān)系即可求出彈簧的最大形變量x．
（3）根據(jù)受力分析判定小球能否回彈．由功能關(guān)系可求得回彈的高度．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：mg-f=ma，
運(yùn)動(dòng)學(xué)公式H=$\frac{1}{2}$at²
解得：t=2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$
（2）物體從靜止開(kāi)始下落第一次到達(dá)最低位置過(guò)程，有：
（mg-f）（H+x）=$\frac{1}{2}$kx²
解得：x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）物體下落停止后，回彈條件為kx＞mg+f    
即需要x＞$\frac{5mg}{4k}$
而x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$＞$\frac{6mg}{4k}$說(shuō)明物體能回彈
回彈有兩種可能性：
①物體回彈至速度為零時(shí)，彈簧仍壓縮x'，有：
$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$kx'²+（mg+f）（x-x'）
解得：x'=$\frac{{7mg-\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
而x'≥0，即需要滿足k≤$\frac{5mg}{3H}$
①當(dāng)k≤$\frac{5mg}{3H}$時(shí)，回彈高度h₁=x-x'=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②當(dāng)k＞$\frac{5mg}{3H}$時(shí)，物體將脫離彈簧，設(shè)物體能上升到距彈簧自由端△h處
由能量關(guān)系得$\frac{1}{2}$kx²=（mg+f）（x+△h） 
h₂=x+△h     h₂=$\frac{3}{5}$（H+x）
h₂=$\frac{3}{5}$（H+$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$）
討論當(dāng)k=$\frac{5mg}{3H}$時(shí)，h₁=$\frac{3H}{2}$；當(dāng)k→∞時(shí)，h₂→$\frac{3H}{5}$
答：（1）物體從靜止開(kāi)始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時(shí)間t為2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$；
（2）物體到達(dá)最低位置時(shí)，求彈簧的最大形變量x為$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）能回彈；①當(dāng)k≤$\frac{5mg}{3H}$時(shí)，回彈高度h₁=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②討論當(dāng)k=$\frac{5mg}{3H}$時(shí)，h₁=$\frac{3H}{2}$；當(dāng)k→∞時(shí)，h₂→$\frac{3H}{5}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道根據(jù)合力的大小和方向可知加速度的大小和方向，以及知道加速度與速度同向，速度增加，加速度與速度反向，速度減�。�