Question

20．某商場設計將貨物（可視為質(zhì)點），從高處運送到貨倉，簡化運送過程如圖所示，左側(cè)由固定于地面的光滑$\frac{1}{4}$圓軌道，軌道半徑為R，軌道最低點距離地面高度為h=$\frac{R}{2}$，距貨倉的水平距離為L=3R，若貨物由軌道頂端無初速落下，無法直接運動到貨倉，設計者在緊靠最低點的地面放置兩個相同的木箱，木箱長度為R，高度為h，質(zhì)量為M，上表面與軌道末端相切，貨物與木箱之間的動摩擦因數(shù)為μ，設計者將質(zhì)量為m貨物由軌道頂端無初速滑下，發(fā)現(xiàn)貨物滑上木箱1時，兩木箱均靜止，而滑上木箱2時，木箱2開始滑動（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，重力加速度為g）
（1）求木箱與地面的動摩擦因數(shù)μ₁的取值范圍；
（2）設計者將兩木箱固定在地面上，發(fā)現(xiàn)貨物剛好可以死進去貨倉，求動摩擦因數(shù)μ的值．

Answer 1

分析 （1）貨物在木箱1上運動時，兩木箱均靜止，知物塊對木箱的摩擦力小于地面對木箱的最大靜摩擦力，貨物在木箱2上運動時，木箱2運動，知物塊對木箱2的摩擦力大于木箱2受到地面的摩擦力，從而求出動摩擦因數(shù)的范圍．
（2）根據(jù)動能定理求出物塊滑上木箱的初速度，結(jié)合平拋運動的規(guī)律，抓住物塊恰好進入貨倉求出物塊離開木箱做平拋運動的速度，根據(jù)牛頓第二定律和速度位移公式求出動摩擦因數(shù)的大�。�

解答 解：（1）因為貨物在木箱1上運動時，兩木箱均靜止，有：μmg＜μ₁（2M+m）g，
貨物在木箱2上運動時，木箱2開始滑動，有：μmg＞μ₁（M+m）g，
聯(lián)立兩式解得$\frac{μm}{2M+m}＜{μ}_{1}＜\frac{μm}{M+m}$．
（2）根據(jù)動能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gR}$，
在兩木箱上做勻減速運動的加速度a=μg，
因為木塊剛好進入貨倉，木塊離開木箱后做平拋運動，有：$h=\frac{R}{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$，
根據(jù)3R-2R=v′t得，木塊做平拋運動的初速度$v′=\frac{R}{t}=R\sqrt{\frac{g}{R}}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)速度位移公式得，v²-v′²=2a•2R，
代入數(shù)據(jù)解得μ=0.25．
答：（1）木箱與地面的動摩擦因數(shù)μ₁的取值范圍為$\frac{μm}{2M+m}＜{μ}_{1}＜\frac{μm}{M+m}$．
（2）動摩擦因數(shù)μ的值為0.25．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，對于第二問，關(guān)鍵抓住臨界情況，物塊恰好進入貨倉，求出平拋運動的初速度是關(guān)鍵．