Question

15．據(jù)媒體6 月3 日消息，科學(xué)家在太陽(yáng)系發(fā)現(xiàn)一顆新天體“V774104”，其與地球的相似度為99.9%，科學(xué)家稱這是有史以來(lái)發(fā)現(xiàn)與地球最接近的一顆“超級(jí)地球”．假設(shè)A 為“V774104”的同步衛(wèi)星，離地高度為h₁；另一衛(wèi)星B 的圓形軌道位于其赤道平面內(nèi)，離地高度為h2（h₂＜h₁），某時(shí)刻A、B 兩衛(wèi)星恰好相距最遠(yuǎn)．已知該星球的半徑為R，表面的重力加速度為g．
（1）求“V774104”自轉(zhuǎn)的角速度ω₀
（2）如果衛(wèi)星B 繞行方向與“V774104”自轉(zhuǎn)方向相同，從該時(shí)刻開始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B 兩衛(wèi)星恰好第一次相距最近？

Answer 1

分析 （1）研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力及重力等于萬(wàn)有引力，列出等式表示出角速度．
（2）衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過(guò)的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于π時(shí)，衛(wèi)星第一次相距最近．

解答 解：（1）設(shè)同步衛(wèi)星A的質(zhì)量為${m}_{1}^{\;}$，“V774104”的質(zhì)量為M，${m}_{2}^{\;}$為地面上一物體質(zhì)量
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}（R+{h}_{1}^{\;}）{ω}_{0}^{2}$
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}g$
解得：${ω}_{0}^{\;}=\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{g}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）設(shè)衛(wèi)星B的質(zhì)量為${m}_{3}^{\;}$，角速度為ω，經(jīng)過(guò)△t時(shí)間A、B兩衛(wèi)星恰好第一次相距最近
$G\frac{M{m}_{3}^{\;}}{（R+{h}_{3}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{3}^{\;}（R+{h}_{2}^{\;}）{ω}_{\;}^{2}$
$（ω-{ω}_{0}^{\;}）△t=π$
解得：$△t=\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$
答：（1）“V774104”自轉(zhuǎn)的角速度${ω}_{0}^{\;}$為$\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）如果衛(wèi)星B 繞行方向與“V774104”自轉(zhuǎn)方向相同，從該時(shí)刻開始，經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$A、B 兩衛(wèi)星恰好第一次相距最近

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．