Question

15．雙星靠相互吸引繞同一固定點O轉(zhuǎn)動，已知它們的質(zhì)量分別為M和m，則它們的轉(zhuǎn)動半徑之比為R：r=m：M，設(shè)兩星距離為L，則質(zhì)量為M的星運動速度大小為v=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$（萬有引力恒量為G）．

Answer 1

分析 “雙星”圍繞它們連線上的同一點為圓心做勻速圓周運動，運動過程中兩者的周期、角速度相同，由對方的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律分別對兩星進(jìn)行列方程求解．

解答 解：設(shè)“雙星”的角速度為ω，根據(jù)牛頓第二定律得
對星M：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}R$   ①
對星m：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}r$   ②
由①：②得R：r=m：M
所以R=$\frac{m}{M+m}L$
對于M星，萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=M\frac{{v}^{2}}{R}$
得$v=\sqrt{\frac{GmR}{{L}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{Gm}{{L}^{2}}•\frac{m}{M+m}L}$=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$
故答案為：m：M；$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$

點評 “雙星”是萬有引力部分常見的題型，關(guān)鍵抓住“雙星”的條件：角速度相同、周期相同，采用隔離法由牛頓第二定律研究．