Question

【題目】如圖所示，兩根相距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF固定在水平面內(nèi)，并處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計(jì)。在導(dǎo)軌的左端接入阻值為R的定值電阻，將質(zhì)量為m、電阻可忽略不計(jì)的金屬棒MN垂直放置在導(dǎo)軌上，可以認(rèn)為MN棒的長度與導(dǎo)軌寬度相等，且金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，不計(jì)空氣阻力。金屬棒MN以恒定速度v向右運(yùn)動(dòng)過程中，假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B且保持不變，為了方便，可認(rèn)為導(dǎo)體棒中的自由電荷為正電荷。

（1）請(qǐng)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，推導(dǎo)金屬棒MN中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E；

（2）在上述情景中，金屬棒MN相當(dāng)于一個(gè)電源，這時(shí)的非靜電力與棒中自由電荷所受洛倫茲力有關(guān)。請(qǐng)根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義，推導(dǎo)金屬棒MN中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E。

（3）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出自由電荷所受洛倫茲力示意圖。我們知道，洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。那么，金屬棒MN中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉(zhuǎn)化過程中起到作用的呢？請(qǐng)結(jié)合圖中自由電荷受洛倫茲力情況，通過計(jì)算分析說明。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）見解析

【解析】

(1)先求出金屬棒MN向右滑行的位移,得到回路磁通量的變化量 ,再由法拉第電磁感應(yīng)定律求得E的表達(dá)式;
(2)棒向右運(yùn)動(dòng)時(shí),電子具有向右的分速度,受到沿棒向下的洛倫茲力，,棒中電子在洛倫茲力的作用下,電子從M移動(dòng)到N的過程中,非靜電力做功,根據(jù)電動(dòng)勢(shì)定義計(jì)算得出E.

（3）可以從微觀的角度求出水平和豎直方向上的洛倫茲力做功情況，在比較整個(gè)過程中做功的變化狀況。

（1）如圖所示，在一小段時(shí)間t內(nèi)，金屬棒MN的位移

這個(gè)過程中線框的面積的變化量

穿過閉合電路的磁通量的變化量

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

解得

（2）如圖所示，棒向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，正電荷具有向右的分速度，受到沿棒向上的洛倫茲力

，f1即非靜電力

在f的作用下，電子從N移動(dòng)到M的過程中，非靜電力做功

根據(jù)電動(dòng)勢(shì)定義

解得

（3）自由電荷受洛倫茲力如圖所示。

設(shè)自由電荷的電荷量為q，沿導(dǎo)體棒定向移動(dòng)的速率為。

如圖所示，沿棒方向的洛倫茲力，做正功

垂直棒方向的洛倫茲力，做負(fù)功

所以，即導(dǎo)體棒中一個(gè)自由電荷所受的洛倫茲力做功為零。

做正功，將正電荷從N端搬運(yùn)到M端，相當(dāng)于電源中的非靜電力，宏觀上表現(xiàn)為“電動(dòng)勢(shì)”，使電源的電能增加；做負(fù)功，宏觀上表現(xiàn)為安培力做負(fù)功，使機(jī)械能減少。大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現(xiàn)是將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為等量的電能，在此過程中洛倫茲力通過兩個(gè)分力做功起到“傳遞”能量的作用。