Question

8．一質(zhì)量m=0.9kg的小球，系于長(zhǎng)L=0.9m的輕繩一端，繩的另一端固定在O點(diǎn)，假定繩不可伸長(zhǎng)、柔軟且無(wú)彈性．現(xiàn)將小球從O點(diǎn)的正上方O₁點(diǎn)以初速度v₀=2.25m/s水平拋出，已知OO₁=0.8m，如圖所示．（g取10m/s²）試求：
（1）輕繩剛伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角θ；
（2）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，小球?qū)�繩的拉力．

Answer 1

分析 （1）先將平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移公式和幾何知識(shí)列式求解繩與豎直方向的夾角θ；
（2）當(dāng)繩剛繃直時(shí)，由于繩不可伸長(zhǎng)，則沿繩子方向的速度立即減為零，只有垂直于繩的速度．此后向下擺動(dòng)的過(guò)程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方的速度，再由牛頓第二定律求繩的拉力．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩剛伸直時(shí)，設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ．則
  v₀t=Lsinθ
$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=OO₁-Lcosθ
其中，L=0.9m，v₀=2.25m/s，OO₁=0.8m，
聯(lián)立解得：θ=$\frac{π}{2}$，t=0.4s
（2）繩繃直時(shí)剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直瞬間，分速度v₀立即減為零，小球僅有豎直速度v_⊥，且v_⊥=gt=4m/s
小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)的速度為v′，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
  $\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{⊥}^{2}$+mgL
小球在最低點(diǎn)，設(shè)繩對(duì)球的拉力為F，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F=43N
根據(jù)牛頓第三定律知，小球?qū)�繩的拉力大小也為43N，方向豎直向下．
答：
（1）輕繩剛伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角θ是$\frac{π}{2}$；
（2）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，小球?qū)�繩的拉力大小為43N，方向豎直向下．

點(diǎn)評(píng) 本題將小球的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)過(guò)程進(jìn)行研究，關(guān)鍵要明確繩突然繃緊的瞬時(shí)過(guò)程，沿繩方向的分速度會(huì)發(fā)生突變，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移公式、機(jī)械能守恒和牛頓定律列式研究．