Question

11．宇航員站在一個(gè)星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球．經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)．若拋出時(shí)的初速度增大到3倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{5}$L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G．求該星球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，知初速度增大到2倍，則水平位移也增大2倍，結(jié)合幾何關(guān)系求出小球落地的高度，通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出重力加速度的大小，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力求出月球的質(zhì)量M．

解答 解：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x，則${h}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}={L}_{\;}^{2}$①
若拋出的初速度為3倍時(shí)，則水平位移為3x   因此有：$（3x）_{\;}^{2}+{h}_{\;}^{2}=（\sqrt{5}L）_{\;}^{2}$②
設(shè)該星球表面的重力加速度為g，則$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$③
聯(lián)立①②③得$h=\frac{L}{\sqrt{2}}$
$g=\frac{\sqrt{2}L}{{t}_{\;}^{2}}$
根據(jù)星球表面物體重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{\sqrt{2}L{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
答：該星球質(zhì)量為$\frac{\sqrt{2}L{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及掌握萬(wàn)有引力等于重力這一理論，并能靈活運(yùn)用