Question

15．如圖所示，水平面上兩平行光滑金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，左端用導(dǎo)線連接阻值為R的電阻．在間距為d的虛線MN、PQ之間，存在方向垂直導(dǎo)軌平面向下的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小只隨著與MN的距離變化而變化．質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌放置，在大小為F的水平恒力作用下由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)虛線MN時(shí)的速度為v₀．此后恰能以加速度a在磁場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)軌電阻不計(jì)，始終與導(dǎo)體棒電接觸良好．求：
（1）導(dǎo)體棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的位置到MN的距離x；
（2）磁場(chǎng)左邊緣MN處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）導(dǎo)體棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體在磁場(chǎng)外，只有F做功，由動(dòng)能定理求解x．
（2）已知導(dǎo)體棒進(jìn)入后以加速度a在磁場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)．由法拉第定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力，再由牛頓第二定律求解B．
（3）由牛頓第二定律得到安培力，由于安培力不變，根據(jù)克服安培力做功等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱求解．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)外，由動(dòng)能定理有：$Fx=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：$x=\frac{mv_0^2}{2F}$
（2）導(dǎo)體棒剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀
由閉合電路歐姆定律有：$I=\frac{E}{R+r}$
又：F_安=ILB
可得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$
由牛頓第二定律有：F-F_安=ma
解得：$B=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{（F-ma）（R+r）}{v_0}}$
（3）導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程，由牛頓第二定律有：
F-F_安=ma
可得 F_安=F-ma，F(xiàn)、a、m恒定，則安培力 F_安恒定，則導(dǎo)體棒克服安培力做功為：
W=F_安d
電路中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=W
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：
${Q_R}=\frac{R}{R+r}Q$
解得：${Q_R}=\frac{Rd}{R+r}（F-ma）$
答：（1）導(dǎo)體棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的位置到MN的距離x是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2F}$；
（2）磁場(chǎng)左邊緣MN處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{（F-ma）（R+r）}{{v}_{0}}}$；
（3）導(dǎo)體棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是$\frac{Rd}{R+r}$（F-ma）．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，要根據(jù)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，恰當(dāng)選擇力學(xué)的方法解答．