Question

（2013?江蘇一模）如圖所示，一比荷為1

0

5

C/kg的帶正電粒子A以速度

v

0

=1

0

4

m/s從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間又從點(diǎn)P處經(jīng)過(guò)x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30°，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E=

4

3

×1

0

3

V/m、方向沿與x軸正方向成60°角斜向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．粒子的重力不計(jì)，試求：
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；
（3）若在A進(jìn)入電場(chǎng)的同時(shí)，在電場(chǎng)中適當(dāng)?shù)奈恢糜伸o止釋放另一與A完全相同的帶電粒子B，可使兩粒子在離開(kāi)電場(chǎng)前相遇．求所有滿足條件的釋放點(diǎn)的集合（不計(jì)兩粒子之間的相互作用力）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，帶電粒子從O處進(jìn)入磁場(chǎng)，轉(zhuǎn)過(guò)120°后離開(kāi)磁場(chǎng)，再做直線運(yùn)動(dòng)從P點(diǎn)射出，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛侖茲力提供向心力即可求得半徑；然后根據(jù)幾何關(guān)系即可求得OP之間的距離．
（2）先求出連接粒子在磁場(chǎng)區(qū)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的弦長(zhǎng)，要使圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，其半徑剛好為弦長(zhǎng)L的一半，求出半徑即可求得最小面積．
（3）粒子A垂直于電場(chǎng)的方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，沿垂直于電場(chǎng)的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；粒子B沿電場(chǎng)的方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由于粒子B與A完全相同，而且運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，所以需要在A離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度的方向PQ′上一定的范圍內(nèi)釋放粒子B，可保證兩個(gè)粒子在離開(kāi)電場(chǎng)前相碰．

解答：解：（1）做出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛侖茲力提供向心力，
則 qvB=m

v 2 0

R

其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 R=

mv0

qB

=0.1m
帶電粒子從O處進(jìn)入磁場(chǎng)，轉(zhuǎn)過(guò)120°后離開(kāi)磁場(chǎng)，再做直線運(yùn)動(dòng)從P點(diǎn)射出時(shí)OP距離：d=R+2R=3R=0.3m
P點(diǎn)的坐標(biāo)：（0.3m，0）
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，連接粒子在磁場(chǎng)區(qū)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)得弦長(zhǎng)為：L=

3

R
要使圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，其半徑剛好為L(zhǎng)的一半，即：r=

1

2

L
其面積為S=πr2=

3π

400

m2
（3）粒子A垂直于電場(chǎng)的方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，沿垂直于電場(chǎng)的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；粒子B沿電場(chǎng)的方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由于粒子B與A完全相同，而且運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，所以需要在A離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度的方向PQ′上一定的范圍內(nèi)釋放粒子B，可保證兩個(gè)粒子在離開(kāi)電場(chǎng)前相碰．
由幾何知識(shí)得A離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向所在直線的方程為：y=-

3

3

x+

3

10

粒子A從P進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)A離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)距離P點(diǎn)為L(zhǎng)，則：Lcos30°=v₀t
Lsin30°=

1

2

qE

m

t2
代入數(shù)據(jù)可得：L=1m
PQ′=Lcos30°=

3

2

m
故Q′點(diǎn)的橫坐標(biāo)：x_Q′=x_P+PQ′?cos30°=0.3m+0.75m=1.05m
所以該直線上滿足0.3m≤x≤1.05m的任一點(diǎn)釋放粒子B都能滿足要求．
答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)P點(diǎn)的坐標(biāo)：（0.3m，0）；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S=

3π

400

m2；
（3）所有滿足條件的釋放點(diǎn)的集合：直線y=-

3

3

x+

3

10

上滿足0.3m≤x≤1.05m的任一點(diǎn)釋放粒子B都能滿足要求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，知道向心力由洛倫茲力提供，學(xué)會(huì)利用圓心角去求運(yùn)動(dòng)時(shí)間，難度適中．