Question

1．如圖所示，在xOy平面坐標系的坐標原點O處有一點狀放射源，放射源可以向xOy平面內的x軸上方各個方向發(fā)射質量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內有沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，在d＜y＜2d的區(qū)域內有垂直于xOy平面向里的勻強磁場，ef為電場和磁場的邊界線，足夠大的平面感光板ab垂直于xOy平面且平行于x軸放置在y=2d處，結果發(fā)現(xiàn)此時恰好無粒子打到感光板ab上．（不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用）．求：
（1）粒子通過電場和磁場邊界ef時的速度大�。�
（2）勻強磁場的磁感應強度大��；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，應將ab板從圖中位置至少向下平移多大距離？并求此時感光板ab被粒子打中區(qū)域的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出α粒子剛進人磁場時的速度．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大�。�
（3）沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據(jù)幾何關系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v_t=2v₀；
（2）根據(jù)上題結果可知v_t=2v₀，對于沿x軸正方向射出的粒子進入磁場時與x軸正方向夾角θ=$\frac{π}{3}$，
其在電場中沿x方向的位移：x₁=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2d}{\frac{qE}{m}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，
可得其圓周運動的半徑：r=$\frac{2}{3}$d，
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力，qv_tB=m$\frac{{v}_{t}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）易知沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．由圖可知此時磁場寬度為原來的$\frac{1}{3}$，即當ab板位于：y=$\frac{4}{3}$d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上，有：△d=2d-$\frac{4}{3}$d=$\frac{2}{3}$d；
ab板上被打中區(qū)域的長度為：L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d；
答：（1）沿+x方向射出的a粒子剛進入磁場時速度大小為2v₀；
（2）勻強磁場磁感應強度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，應將ab板從圖中位置至少向下平移$\frac{2}{3}$d，此時感光板ab被粒子打中區(qū)域的長度為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數(shù)學幾何能力要求較高．