Question

3．如圖所示，水平放置的兩根光滑平行長(zhǎng)導(dǎo)軌M、N相距L₀=2m，兩軌之間有垂直導(dǎo)軌平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=20T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬桿ab與導(dǎo)軌良好接觸，從t=0時(shí)刻開(kāi)始，ab在外力作用下其速度滿足v=25cos2πt（m/s）沿導(dǎo)軌方向運(yùn)動(dòng)，并把產(chǎn)生的電壓加在兩塊長(zhǎng)L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間．在離金屬板右邊緣L₂=75cm處放置一個(gè)熒光屏，左邊緣緊接一個(gè)電子加速器，加速電壓U₀=5000V（不計(jì)電子在加速器中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間）．從t=0時(shí)刻開(kāi)始，電子不斷地從陰極K射出并以初速為零開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)．已知電子的質(zhì)量為m=9.1×10^-31kg．

（1）計(jì)算確定加在平行金屬板A、B之間電壓的表達(dá)式；
（2）計(jì)算電子得到加速后的速度；（結(jié)果保留二位有效數(shù)字）
（3）計(jì)算確定電子在熒光屏上偏離O點(diǎn)的距離隨時(shí)間變化的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：e=BLv可得表達(dá)式．
（2）由動(dòng)能定理得：eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$可得速度值．
（3）運(yùn)動(dòng)分為類(lèi)平拋與勻速直線，兩個(gè)過(guò)程的豎直分位移之和即為要求的偏轉(zhuǎn)量．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律
   e=B₁L₀v=20×2×25cos2πt （V）=1000cos2πt （V）   
  因電路開(kāi)路，故加在金屬板A、B間的電壓
      U=e=1000cos2πt （V）    
（2）對(duì)電子的加速過(guò)程，由動(dòng)能定理得
      eU₀=$\frac{1}{2}$mv₀² 得電子加速后的速度    v₀=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$=4.2×10⁷m/s  
（3）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，電子在水平方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
      t₁=$\frac{{L}_{1}}{{v}_{0}}$=2.5×10^-9s，
     而偏轉(zhuǎn)電壓的周期T=$\frac{2π}{ω}$=1S
故可以忽略運(yùn)動(dòng)期間偏轉(zhuǎn)電壓的變化，認(rèn)為電場(chǎng)是穩(wěn)定的，因此電子做類(lèi)平拋的運(yùn)動(dòng)，如圖所示，
e
交流電壓在A、B兩板間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{U}1zifyvm$
電子飛離金屬板時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}（\frac{{L}_{1}}{{v}_{0}}）^{2}$
電子飛離金屬板時(shí)的豎直速度${v}_{y}=a{t}_{1}=\frac{eE}{m}（\frac{{L}_{1}}{{v}_{0}}）$  
電子從飛離金屬板到達(dá)熒光屏?xí)r的偏轉(zhuǎn)距離
   ${y}_{2}={v}_{y}{t}_{2}=\frac{eE}{m}\frac{{L}_{1}}{{v}_{0}}\frac{{L}_{2}}{{v}_{0}}=\frac{eE}{m}\frac{{L}_{1}{L}_{2}}{{v}_{0}^{2}}$ 
所以，電子在熒光屏上偏離O點(diǎn)的距離隨時(shí)間變化的表達(dá)式為：
 $y={y}_{1}+{y}_{2}=（\frac{{L}_{1}}{2}+{L}_{2}）\frac{eE{L}_{1}}{m{v}_{0}^{2}}$=$（\frac{{L}_{1}}{2}+{L}_{2}）\frac{{L}_{1}U}{2d{U}_{0}}$=0.20cos2πt
答：（1）加在平行金屬板A、B之間電壓的表達(dá)式為U=e=1000cos2πt （V）；
（2）得到加速后的速度為=4.2×10⁷m/s
（3）電子在熒光屏上偏離O點(diǎn)的距離隨時(shí)間變化的表達(dá)式為y=0.20cos2πt

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的典型問(wèn)題：在電場(chǎng)中加速，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，掌握粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵