Question

6．如圖甲所示，有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界OP與水平方向夾角為θ=45°，緊靠磁場(chǎng)右上邊界放置長(zhǎng)為L(zhǎng)、間距為d的平行金屬板M、N，磁場(chǎng)邊界上的O點(diǎn)與N板在同一水平面上，O₁、O₂為電場(chǎng)左右邊界中點(diǎn)．在兩板間存在如圖乙所示的交變電場(chǎng)（取豎直向下為正方向）．某時(shí)刻從O點(diǎn)豎直向上以不同初速度同時(shí)發(fā)射兩個(gè)相同的質(zhì)量為m、電量為+q的粒子a和b；結(jié)果粒子a恰從O₁點(diǎn)水平進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，由電場(chǎng)中的O₂點(diǎn)射出；粒子b恰好從M板左端邊緣水平進(jìn)入電場(chǎng)；不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用，電場(chǎng)周期T未知；求：
（1）粒子a、b從磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b；
（2）粒子a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到O₂點(diǎn)射出電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（3）如果金屬板間交變電場(chǎng)的周期T=$\frac{4m}{qB}$，粒子b從圖乙中t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，求要使粒子b能夠穿出板間電場(chǎng)時(shí)E₀滿足的條件

Answer 1

分析 （1）求出粒子軌道半徑，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子a、b從I磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b．
（2）求出粒子在磁場(chǎng)中、在電場(chǎng)中、在電磁場(chǎng)外的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析答題．

解答 解：（1）如圖所示，粒子a、b在磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)過(guò)90°，平行于金屬板進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系可得：
${r_a}=\fracyowvduu{2}$，r_b=d
由牛頓第二定律可得：$q{v_a}B=\frac{mv_a^2}{r_a}$$q{v_b}B=\frac{mv_b^2}{r_b}$
解得：${v_a}=\frac{qBd}{2m}$
${v_b}=\frac{qBd}{m}$
（2）在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的周期為${T_0}=\frac{2πm}{qB}$
在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_1}=\frac{T_0}{4}=\frac{πm}{2qB}$
粒子在無(wú)電磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的時(shí)間為${t_2}=\fracbb6ntld{{2{v_a}}}=\frac{m}{qB}$
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t_3}=\frac{L}{v_a}=\frac{2mL}{qBd}$
a粒子全程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃=$\frac{m}{2qBd}（πd+2d+4L）$
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，a、b同時(shí)離開磁場(chǎng)，
a比b進(jìn)入電場(chǎng)落后的時(shí)間為$△t=\frac0ipwmya{{2{v_a}}}=\frac{m}{qB}=\frac{T}{4}$，
故粒子b在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，而粒子a在$\frac{T}{4}$時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)
由于粒子a在電場(chǎng)中從O₂射出，在電場(chǎng)中豎直方向位移為0，
故a在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t_a是周期的整數(shù)倍，
由于v_b=2v_a，
b在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是${t_b}=\frac{1}{2}{t_a}$，
可見b在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是半個(gè)周期的整數(shù)倍，即：${t_b}=\frac{L}{v_b}=n•\frac{T}{2}$
故$n={\frac{2L}{Tv}_b}$
粒子b在$\frac{T}{2}$內(nèi)豎直方向的位移為：$y=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
粒子在電場(chǎng)中的加速度為：$a=\frac{{q{E_0}}}{m}$
由題知：$T=\frac{4m}{qB}$
粒子b能穿出板間電場(chǎng)應(yīng)滿足ny≤d  
解得：${E_0}≤\frac{{q{d^2}{B^2}}}{mL}$
答：（1）粒子a、b從磁場(chǎng)邊界射出時(shí)的速度v_a、v_b分別是：$\frac{qBd}{2m}$和$\frac{qBd}{m}$；
（2）粒子a從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到射出O₂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是$\frac{m}{2qBd}（πd+2d+4L）$；
（3）粒子b能夠穿出板間電場(chǎng)時(shí)E₀滿足的條件是${E}_{0}≤\frac{qoyghph4^{2}{B}^{2}}{mL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．