Question

如圖所示,ABCD為豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道，其中AB為斜面，BC段是水平的， CD段為半徑R= 0. 2 m的半圓，圓心為O，與水平面相切于C點(diǎn)，直徑CD垂直于BC。現(xiàn)將小球甲從斜面上距BC高為的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞，己知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m=1.0，重力加速度g取10 m/s2.(水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)）求：

(1)   甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則甲、乙碰后瞬間，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力F;

(2)   在滿足（1）的條件下，求斜面與水平面的夾角θ

(3)   若將甲仍從A點(diǎn)釋放，増大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【命題立意】本題旨在考查動(dòng)量守恒定律、向心力、動(dòng)能定理的應(yīng)用。

【解析】（1）乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則重力恰好通過向心力，設(shè)乙到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為，得：

乙球從C到D的過程中機(jī)械能守恒，得：

聯(lián)立以上兩式得：

乙球在C點(diǎn)受到的支持力與重力的合力提供向心加速度，得：

所以：

由牛頓第三定律可知，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力與軌道對小球的支持力大小相等，即：

（2）甲與乙的質(zhì)量相同，所以甲與乙發(fā)生彈性碰撞的過程二者交換速度，所以甲到達(dá)C的速度等于乙在C點(diǎn)的速度，即：

甲從A滑到B的過程中機(jī)械能守恒，得：

甲到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動(dòng)，則：

所以：

則：

（3）將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量為M，甲到達(dá)C的速度仍然是，保持乙的質(zhì)量不變，仍然發(fā)生彈性碰撞，以向左為正方向，則：
根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得：

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，得：

聯(lián)立解得：，

當(dāng)甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量大很多是時(shí)候，乙球的速度最大，，即最大速度約為原來速度的2倍。

乙離開圓軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度最小時(shí)的水平方向的位移：

速度最大時(shí)的水平方向的位移：

即：

答：（1）甲、乙碰后瞬間，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力是；

（2）斜面與水平面的夾角是；

（3）若將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍是。