Question

如圖示，質量的彈性小球A在長為的細輕繩牽引下可以繞水平軸O在豎直平面內做圓周運動，圓周的最高點為P.小球A在豎直平面內完成圓周運動過程中，由于該空間存在某種特殊物質的作用，使得小球A在豎直平面內每轉動半周都會損失一部分動能，設每次損失的動能均為它每次經過P點時動能的.現小球在頂點P以的初速度向左轉動.P處有一個水平槽，槽內有許多質量均為的彈性鋼球，小球A每次轉動到P點恰好與P點處的小鋼球發(fā)生彈性正碰，鋼球水平飛出做平拋運動.每次被小球A碰撞后，槽內填充裝置可將鋼球自動填充動到P點位置且靜止.已知水平地面距水平槽的高度恰好是1.8m，小球均可視為質點.求：

⑴小球A第一次過最低點時，細繩的拉力（保留3位有效數字）；

⑵小球A能將鋼球碰出去的鋼球個數；

⑶第一個鋼球與最后一個鋼球落地后的水平距離（保留3位有效數字）.

Answer 1

【答案】⑴；⑵4個；⑶

【命題立意】本題旨在考查動量守恒定律、功能關系。

【解析】⑴小球A從頂部運動到底部過程根據功能關系有：

  

在最低點，由牛頓第二定律知：，

聯立可解得：

⑵小球第一次轉回到頂部碰前狀況，設其速度為，根據題意可知，損失部分機械能，重力勢能不變，

 

解得：

小球A在頂部與鋼球碰撞，由動量守恒定律、機械能守恒定律得：

 

 

聯立解得：，負號表示與碰前入射速度方向相反

同理可得，碰撞n次以后瞬間的速度為，則：

，負號表示與碰前入射速度方向相反，

小球要能與鋼球碰撞則必須能完成完整的圓周運動，所以碰n次后假定再次到達P位置，其速度一定有：

所以：

解得：，由于n是自然數，所以，小球A可以與4 個鋼球碰撞；

⑶第一個鋼球碰后速度：

第4個鋼球碰撞后速度：

由于兩球是分別朝向左右兩邊做平拋運動的，所以水平距離是：

平拋時間是：  

，

得：

答：⑴小球A第一次過最低點時，細繩的拉力為；⑵小球A能將鋼球碰出去的鋼球個數為4個；⑶第一個鋼球與最后一個鋼球落地后的水平距離。