Question

3．組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)角速度，如果超過了該角速度，星球的萬有引力將不足以維持其赤道上的物體的圓周運(yùn)動(dòng)，則半徑為R、密度為ρ、質(zhì)量均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$（萬有引力常量為G）．當(dāng)該星球自轉(zhuǎn)的周期等于最小自轉(zhuǎn)周期的兩倍時(shí)，該星球表面赤道處物體的重力加速度為πρGR．

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí)，物體對(duì)星球表面應(yīng)剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期．

解答 解：根據(jù)$F=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對(duì)星球表面的壓力最小，當(dāng)周期小到一定值時(shí)，壓力為零，此時(shí)萬有引力充當(dāng)向心力，即：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$且$M=ρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{Gρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$
當(dāng)該星球自轉(zhuǎn)的周期等于最小自轉(zhuǎn)周期的兩倍時(shí)，
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}R$且T′=2T
所以$mg=\frac{3}{4}G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
$g=\frac{3}{4}G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{3}{4}G\frac{ρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{{R}_{\;}^{2}}=πρGR$
故答案為：$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$        πρGR

點(diǎn)評(píng) 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度越大、周期越小時(shí)，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越��；而當(dāng)向心力大到一定值時(shí)，物體會(huì)離開星球表面．