Question

20．某人站在某星球上以速度v₁豎直上拋一物體，經(jīng)t秒后物體落回手中，已知該星球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，現(xiàn)將此物沿該星球表面平拋，要使其不再落回地球，則：
（1）拋出的速度V₂至少為多大？
（2）該星球的質(zhì)量M為多大？

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力并提供近地衛(wèi)星的向心力求得衛(wèi)星的線速度和該星球的質(zhì)量．

解答 解：（1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，取豎直向上為正方向，則a=-g，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系有：
x=${v}_{1}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$，當(dāng)位移為0時(shí)物體回到出發(fā)點(diǎn)，所以有
t=$\frac{2v}{g}$
可得重力加速度g=$\frac{2v}{t}$
平拋的最小速度為該星球的第一宇宙速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
在星球表面重力等于萬(wàn)有引力故有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
所以：${v}_{2}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$
（2）在星球表面重力等于萬(wàn)有引力故有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{tG}$
答：（1）拋出的速度V₂至少為$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$；
（2）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{tG}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力與重力相等入手求解，掌握豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律．