Question

9．如圖所示，固定光滑斜面體傾角為37°，CDE為豎直面內的光滑圓弧軌道，一小球從斜面的底端A點，以初速度v₀=4$\sqrt{3}$m/s沿斜面向上滾動，離開斜面體后剛好從圓弧軌道的C點無碰撞地進人圓弧軌道，已知斜面頂點B比C點高h=0.152m，斜面的長為L=1m，小球的質量為1kg，g取10m/s²，$\sqrt{61}$=7.81，求：
（1）圓弧軌道的半徑；
（2）試分析小球進入圓弧軌道后恰好能運動到與圓弧圓心0等高處，則小球在圓弧軌道內克服摩擦力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從A到B做勻減速運動，從B到C做斜拋運動，分別由動能定理求出B點和C點的速度，將B點速度分解求出水平速度，在C點利用速度的分解和幾何關系聯立可求圓弧軌道的半徑；
（2）因為在C點無機械能損失，所以全過程用動能定理可求小球在圓弧軌道內克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）從A到B，由動能定理可得：-mgLsin37°=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$    ①
物體經過B點飛出后做斜拋運動，其水平速度為：v_x=v_Bcos37°     ②
從A到C，由動能定理可得：-mg（Lsin37°-h）=$\frac{1}{2}$m${v}_{c}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$        ③
設∠COD的夾角為θ，在C點將速度v_C分解可得：cosθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{c}}$          ④
又由幾何關系有：（Lsin37°-h）=R（1-cosθ）                     ⑤
聯立①②③④⑤解得：R=1.93m．                             ⑥
（2）小球進入圓弧軌道后恰好能運動到與圓弧圓心0等高處，即在等高處的速度為0，因為在C點無機械能損失，所以對全過程：
由動能定理可得：-mgR-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀^{2 ⑦}
代入數據解得：W_f=4.7J                                    ⑧
 答：（1）圓弧軌道的半徑為1.93m；
（2）小球在圓弧軌道內克服摩擦力做功為4.7J．

點評 本題考查動能定理、斜拋運動和圓周運動等知識的綜合運用，解答此題時要認真分析物體的運動過程，使用動能定理是可以全過程，也可以分過程，還要注意題干給定的條件：“離開斜面體后剛好從圓弧軌道的C點無碰撞地進人圓弧軌道”、“小球進入圓弧軌道后恰好能運動到與圓弧圓心0等高處”的含義．