Question

14．桌面上有一倒立的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面為等邊三角形，邊長為L，如圖所示，有一半徑為$\frac{1}{3}$L的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為n=$\sqrt{3}$，光在真空中傳播的速度為c．
（1）畫出光線1從射入三棱鏡到射到桌面上某一點的光路；
（2）求出光束在桌面上形成的光斑半徑；
（3）光線1從射入三棱鏡到射到桌面上某一點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)光的折射定律與反射定律作出光路圖．
（2）根據(jù)光路圖應(yīng)用光的折射定律與幾何知識求出半徑．
（3）求出光傳播的路程，然后應(yīng)用速度公式求出光的傳播時間．

解答 解：（1）光路圖如圖所示：
（2）設(shè)臨界角為C，則：
sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$＜sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
已知：ON=$\frac{1}{3}$L，則：OA=2 ON，
由于：∠MOA=∠AMO=30°，則：AM=OA=$\frac{2}{3}$L；
（3）由幾何知識可知：
QO=QB•tan60°=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$L-$\frac{2}{3}$L）=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$L，
OD=DM=OA•sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$L，
折射率：n=$\frac{c}{v}$，光速：v=$\frac{c}{n}$，
光的傳播時間：t=$\frac{QO+OD}{υ}$+$\frac{DM}{c}$=$（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）\frac{L}{c}$；
答：（1）光路圖如圖所示；
（2）光束在桌面上形成的光斑半徑為：$\frac{2}{3}$L；
（3）光線1從射入三棱鏡到射到桌面上某一點所用的時間為：$（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）\frac{L}{c}$．

點評 本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關(guān)系來輔助計算．