Question

現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．萬有引力常量為G．求：
（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T．
（2）若實驗上觀測到運動周期為T’，且Tn：T=1：

N

(N＞1)，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的物質--暗物質，作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析：（1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運動周期T．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質的質量，再求解其密度．

解答：解：（1）由萬有引力提供向心力有：

GM2

L2

=M?

L

2

?

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）設暗物的密度為ρ，質量為m，則
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ?

L3

6

再由萬有引力提供向心力有：

GM2

L2

+

GMm

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

Tn2

 ②
由

①

②

得：

M

M+4m

=(

Tn

T

)2=

1

N

又m=πρ?

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T=πL

2L GM

．
（2）該星系間這種暗物質的密度為ρ=

3(N-1)M

2πL3

．

點評：對于雙星問題和暗物質問題，關鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究．