Question

【題目】麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論告訴我們：變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，該感生電場(chǎng)是渦旋電場(chǎng)；變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生感生磁場(chǎng)，該感生磁場(chǎng)是渦旋磁場(chǎng)。

（1）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B=kt（k>0且為常量）。將一半徑也為r的細(xì)金屬圓環(huán)（圖中未畫(huà)出）與虛線邊界同心放置。

①求金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)的大小。

②變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)存在于磁場(chǎng)內(nèi)外的廣闊空間中，在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)其電場(chǎng)線是一系列同心圓，如圖中的實(shí)線所示，圓心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合。在同一圓周上，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等。使得金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力是渦旋電場(chǎng)對(duì)自由電荷的作用力，這個(gè)力稱(chēng)為渦旋電場(chǎng)力，其與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系和靜電力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系相同。請(qǐng)推導(dǎo)金屬圓環(huán)位置的渦旋電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E感。

（2）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為E=ρt（ρ>0且為常量）。

①我們把穿過(guò)某個(gè)面的磁感線條數(shù)稱(chēng)為穿過(guò)此面的磁通量，同樣地，我們可以把穿過(guò)某個(gè)面的電場(chǎng)線條數(shù)稱(chēng)為穿過(guò)此面的電通量。電場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)面積內(nèi)的電通量也會(huì)發(fā)生變化，該變化的電場(chǎng)必然會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。小明同學(xué)猜想求解該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B感的方法可以類(lèi)比（1）中求解E感的方法。若小明同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)推導(dǎo)B感在距離電場(chǎng)中心為a（a<r）處的表達(dá)式，并求出在距離電場(chǎng)中心和2r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值B感1：B感2。

②小紅同學(xué)對(duì)上問(wèn)通過(guò)類(lèi)比得到的B感的表達(dá)式提出質(zhì)疑，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷B感的表達(dá)式是否正確，并給出合理的理由。

Answer 1

【答案】（1）① ② ；（2）①1:1②不正確.

【解析】

（1）①根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)ε的大小。②在金屬圓環(huán)內(nèi)，求解非靜電力對(duì)帶電量為-q的自由電荷所做的功，求解電動(dòng)勢(shì)，從而求解感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）①類(lèi)比（1）中求解E感的過(guò)程求解 兩處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值；②通過(guò)量綱分析表達(dá)式的正誤.

（1）①根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得

②在金屬圓環(huán)內(nèi)，非靜電力對(duì)帶電量為-q的自由電荷所做的功W非=qE感·2πr

根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義

解得感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小

（2）①類(lèi)比（1）中求解E感的過(guò)程，在半徑為R處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

在R=a時(shí)，，解得

在R=時(shí)， ，解得

將R=2r時(shí)， ，解得

所以

② 上問(wèn)中通過(guò)類(lèi)比得到的B感的表達(dá)式不正確；

因?yàn)橥ㄟ^(guò)量綱分析我們知道：用基本物理量的國(guó)際單位表示的導(dǎo)出單位為 ；又因?yàn)?/span>，用基本物理量的國(guó)際單位表示的導(dǎo)出單位為。可見(jiàn)，通過(guò)類(lèi)比得到的B感的單位是不正確的，所以的表達(dá)式不正確。