Question

20．如圖所示，豎直平面內(nèi)豎直方向的直線a、b寬度為d，直線a、b之間有方向水平向右電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，直線b的右側(cè)有豎直向上電場(chǎng)強(qiáng)度大小仍為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．令有質(zhì)量為m的帶正電微粒從直線a上的A點(diǎn)以某一速度豎直向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)直線b上時(shí)，速度變?yōu)樗�平方向，且大小與A點(diǎn)的速度大小相同，豎直方向的位移為d，然后進(jìn)入直線b右側(cè)的電磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，又從距離A豎直高度為2d的位置再次進(jìn)入直線a、b之間運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，直線b右側(cè)的電磁場(chǎng)區(qū)域非常寬．求：
（1）微粒的電荷量q和在A點(diǎn)的速度大小v₀；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和小球從A點(diǎn)出發(fā)再次回到直線a的時(shí)間；
（3）小球在第n次在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡圓的弦長(zhǎng)L．

Answer 1

分析 （1）將微粒在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分解成水平方向與豎直方向，根據(jù)動(dòng)能定理判斷出電場(chǎng)力的大小與重力大小的關(guān)系；根據(jù)動(dòng)能定理求出微粒的初速度；
（2）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由此求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；再由洛倫茲力提供向心力求出微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；分方向使用動(dòng)量定理求出微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出總時(shí)間；
（3）分析微粒第二次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，求出第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度以及速度的方向，畫出微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，判斷出粒子運(yùn)動(dòng)的出射點(diǎn)，從而求出弦長(zhǎng)；同理分析微粒第三次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況和第三次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法即可做出判斷．

解答 解：（1）由題，微粒第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直方向：
$-2gd=0-{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gd}$
水平方向：$2ad={v}_{0}^{2}-0$
所以：a=g
而水平方向：ma=qE
聯(lián)立得：q=$\frac{mg}{E}$
（2）微粒在b右側(cè)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于qE=mg，即電場(chǎng)力與重力大小相等，方向向上，所以微粒受到的電場(chǎng)力與重力的合力始終等于0．微粒受到的洛倫茲力始終與速度的方向垂直，所以微粒在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
其中：2r=2d-d=d
所以：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$=$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$
微粒垂直于b進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，由運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，微粒在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是半個(gè)周期，所以：
${t}_{2}=\frac{1}{2}T$
微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：$q{v}_{0}B=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{q}•\frac{qd}{2m\sqrt{2gd}}$=$\frac{π\(zhòng)sqrt{2gd}}{2g}$
微粒從A到b的過(guò)程中，-mgt₁=0-mv₀
所以：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
微粒車復(fù)合場(chǎng)中射出后的速度也是v₀，沿電場(chǎng)線的方向返回a的時(shí)間：-qEt₃=0-mv₀
聯(lián)立得：${t}_{3}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
所以小球從A點(diǎn)出發(fā)再次回到直線a的時(shí)間：
t=t₁+t₂+t₃
聯(lián)立得：t=$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$
（3）微�；氐絘時(shí)沿水平方向的分速度是0，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知微粒第三次到達(dá)b再使用的時(shí)間：
t₄=t₁=t₃
微粒在第二次到達(dá)b至第三次到達(dá)b的過(guò)程中豎直方向的位移：y=$\frac{1}{2}g（{t}_{3}+{t}_{4}）^{2}$
聯(lián)立可得：y=4d
此時(shí)微粒沿水平方向的分速度仍然是v₀，而豎直方向的分速度：
v_3y=g（t₃+t₄）
聯(lián)立可得：v_3y=2v₀
微粒的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{0}^{2}}+{v}_{3y}^{2}=\sqrt{5}{v}_{0}$
設(shè)此時(shí)微粒在豎直方向的夾角為θ，則：sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
畫出微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓軌跡如圖：

微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{3}=\frac{m•\sqrt{5}{v}_{0}}{qB}=\sqrt{5}r$
此時(shí)圓與b的弦長(zhǎng)：l=2r₃sinθ=2r=d
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，微粒再次從復(fù)合場(chǎng)中出來(lái)時(shí)，沿水平方向的速度仍然是v₀，沿豎直方向的速度仍然是2v₀，結(jié)合前面的分析可知，微粒從第四次到達(dá)b到第五次到達(dá)b的時(shí)間與第二次到達(dá)b后第三次到達(dá)b的時(shí)間是相等的，微粒到達(dá)b后，沿水平方向的分速度仍然是v₀，無(wú)論豎直方向的分速度是多大，設(shè)到達(dá)b的速度是v，則微粒的速度與豎直方向之間的夾角為β，則：sinβ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}$
微粒運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{n}=\frac{m{v}_{n}}{qB}$
微粒在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡圓的弦長(zhǎng)：L=2r_n•sinβ=$2×\frac{m{v}_{n}}{qB}•\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}=2•\frac{m{v}_{0}}{qB}$=d
可知微粒在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡圓的弦長(zhǎng)始終是d．
答：（1）微粒的電荷量q是$\frac{mg}{E}$，在A點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{2gd}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$，小球從A點(diǎn)出發(fā)再次回到直線a的時(shí)間是$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$；
（3）小球在第n次在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡圓的弦長(zhǎng)L是d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意當(dāng)粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力與重力平衡．