Question

10．如圖（a）所示，M、N為中心開有小孔的平行板電容器的兩極板，相距D=1m，其右側(cè)為垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=1×10^-3T，磁場區(qū)域足夠長，寬為d=0.01m；在極板M、N之間加有如圖（b）所示交變電壓，M極電勢高于N極時電壓為正．現(xiàn)有帶正電粒子不斷從極板M中央小孔處射入電容器，粒子的初速度可忽略不計；其荷質(zhì)比$\frac{q}{m}$=2×10¹¹C/kg，重力不計，試求：

（1）由0時刻進(jìn)入電容器內(nèi)的粒子經(jīng)多長時間才能到達(dá)磁場？
（2）由0時刻進(jìn)入電容容器內(nèi)的粒子射出磁場時向上偏移的距離．
（3）在交變電壓第一個周期內(nèi)，哪些時刻進(jìn)入電容器內(nèi)的粒子能從磁場的右側(cè)射出來？

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求粒子在電容器中的加速度，然后由運動學(xué)公式求出時間；
根據(jù)動能定理求粒子到達(dá)磁場時的速度，然后由牛頓第二定律求出磁場中圓周運動的半徑，結(jié)合幾何知識求偏移的距離L；
恰好與右邊界相切為從右邊界射出的臨界情況，結(jié)合動能定理和運動學(xué)公式計算判斷．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入電容器，其加速度$a=\frac{U}{D}•\frac{q}{m}$①
假設(shè)能在$\frac{T}{2}$時間以內(nèi)穿過電容器，則有$\frac{1}{2}a{t^2}=D$②
由以上兩式關(guān)代入數(shù)據(jù)得$t=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×{10^{-6}}s$
$t＜\frac{T}{2}$符合假設(shè)，故粒子經(jīng)7.1×10^-6s到達(dá)磁場．
（2）設(shè)粒子到達(dá)磁場時的速率為v
由動能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$③
粒子進(jìn)入磁場在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其半徑為R，有$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{R}$④
粒子運動軌跡如圖，由幾何知識
（R-L）²+d²=R²  ⑤
根據(jù)③④⑤式得粒子向上偏移的距離L=（$\sqrt{2}$-1）×10^-2m⑥
（3）如果粒子在磁場中的軌跡恰與右邊界相切，則半徑R₀=d，對應(yīng)速度為v₀
設(shè)在電場中先加速位移x，后減速位移D-x
由動能定理：$\frac{qU}{D}x-\frac{qU}{D}（D-x）=\frac{1}{2}mv_0^2$⑦
加速位移x需要時間為t，$x=\frac{1}{2}v{t^2}$⑧
由④⑦⑧⑨得t=$\frac{{\sqrt{150}}}{2}×{10^{-7}}s$⑨
故需在0～（$\frac{T}{2}$-t）內(nèi)進(jìn)入電容器，即在0～0.39×10^-7s內(nèi)進(jìn)入．
答：（1）由0時刻進(jìn)入電容器內(nèi)的粒子經(jīng)$\frac{\sqrt{2}}{2}×1{0}^{-6}s$s才能進(jìn)入磁場；
（2）由0時刻進(jìn)入電容容器內(nèi)的粒子射出磁場時向上偏移的距離為4.1×10^-3m．
（3）在交變電壓第一個周期內(nèi)，在0-3.9×10^-7s進(jìn)入進(jìn)入電容器內(nèi)的粒子能從磁場的右側(cè)射出來．

點評 本題主要考查了電子在電場和磁場中運動問題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況和運動情況，畫出粒子運動的軌跡，并結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．