Question

3．長為L的桿AO用鉸鏈固定在O點，以角速度ω圍繞O點轉動，在O點的正上方有一個定滑輪B，一輕繩繞過滑輪B，一端固定在桿的A端，另一端懸掛一個質量為M的重物C（如圖），O、B之間的距離為h，求：
（1）當AB繩與豎直方向成θ角時，重物的運動速度是多少？
（2）此時繩上的張力是多少？

Answer 1

分析 對速度v_A作如圖所示的正交分解，沿繩BA的分量就是物塊M的速率，根據(jù)平行四邊形定則，結合幾何關系求出M的速率．

解答 解：（1）桿的端點A點繞0點作圓周運動，其速度v_A的方向與桿OA垂直，其大小為 v_A=Lω．
對速度v_A作如圖所示的正交分解，沿繩BA的分量就是物塊M的速率v_M，則
v_M=v_Acosφ        
由正弦定理知$\frac{sin∠OAB}{h}=\frac{sinθ}{L}$
由圖看出$∠OAB=\frac{π}{2}+$φ         
由以上各式得${v}_{M}={v}_{A}•cosφ=Lω•\frac{h}{L}•sinθ$=hω•sinθ．
（2）此時M的加速度是速度的導數(shù)，即：a=v′=-hω•θcosθ
根據(jù)牛頓第二定律，則繩子的張力：T=mg+ma=mg-mhω•θcosθ
答：（1）當AB繩與豎直方向成θ角時，重物的運動速度是hω•sinθ；
（2）此時繩上的張力是mg-mhω•θcosθ．

點評 該題屬于競賽題目，解決本題的關鍵將A點的速度分解，知道沿繩BA的分量等于物塊M的速率，而解答的難點是球物體的加速度．