Question

2．如圖所示，A、B為水平放置的平行金屬板，在兩板之間有一帶正電的粒子，現(xiàn)在A、B間加上如圖所示的隨時(shí)間周期性變化的電壓．設(shè)帶電粒子t=0時(shí)刻從P點(diǎn)由靜止釋放后在0-t₀時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移x₀和圖中t₀是已知的．帶電粒子不與板相碰，不考慮帶電粒子的重力．試求帶電粒子t=0時(shí)刻從P點(diǎn)由靜止釋放后：

（1）第一次速度為0時(shí)離開P點(diǎn)的距離；
（2）第二次速度為0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）再次通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）在0～t₀時(shí)間內(nèi)，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力方向豎直向上，運(yùn)動(dòng)的位移x₀，在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力豎直向下，粒子做減速運(yùn)動(dòng)，由速度與位移關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的位移，最后計(jì)算出第一次速度為0時(shí)離開P點(diǎn)的距離；
（2）分析粒子在2t₀～3t₀內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，最后計(jì)算出第二次速度為0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）分析粒子在t₀～2t₀，2t₀～3t₀，3t₀-4t₀，4t₀-5t₀內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，最后用速度與位移關(guān)系，求出再次通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）在0～t₀時(shí)間內(nèi)，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力方向豎直向上，大小為設(shè)為F₁
加速度設(shè)為a₁
則運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{0}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}$ 
此時(shí)粒子的速度v=$\sqrt{2{a}_{1}{x}_{0}}$=a₁t₀
在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力豎直向下，粒子做減速運(yùn)動(dòng)
電壓大小變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{3}{2}$，故受到的電場(chǎng)力大小變?yōu)?\frac{3}{2}{F}_{1}$
加速度a₂大小變?yōu)?\frac{3}{2}{a}_{1}$
由速度與位移關(guān)系有：${v}^{2}=2×\frac{3}{2}{a}_{1}x′$
解得x′=$\frac{2{x}_{0}}{3}$
則第一次速度為0時(shí)離開P點(diǎn)的距離為x₀+x′=$\frac{5{x}_{0}}{3}$；
（2）減速階段的時(shí)間 ${t}_{1}=\frac{v}{\frac{3}{2}{a}_{1}}=\frac{2}{3}{t}_{0}$
故還有$2{t}_{0}-{t}_{0}-{t}_{1}=\frac{1}{3}{t}_{0}$時(shí)間，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力豎直向下，粒子向下做勻加速運(yùn)動(dòng)
加速到${v}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}•\frac{1}{3}{t}_{0}=\frac{v}{2}$，向下勻加速運(yùn)動(dòng)的位移為${x}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{3}{2}{a}_{1}（\frac{1}{3}{t}_{0}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}}{6}$；
電壓反向，帶正電粒子受到的電場(chǎng)力豎直向上，粒子向下做勻減速運(yùn)動(dòng)
需要t₂時(shí)間速度減為0，則t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{{t}_{0}}{2}$
故第二次速度為0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2t₀+t₂=$\frac{5{t}_{0}}{2}$；
向下勻減速運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{3}={v}_{1}•\frac{{t}_{0}}{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}}{4}$
（3）在2t₀-3t₀內(nèi)先向上做減速運(yùn)動(dòng)，速度減為0時(shí)的位移為$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{{x}_{0}}{4}$
再向下做加速運(yùn)動(dòng)，在3t₀時(shí)刻粒子的速度為v₃=a₁（t₀-t₂）=$\frac{{x}_{0}}{{t}_{0}}$
向下運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{2}^{′}=\frac{{v}_{3}}{2}（{t}_{0}-{t}_{2}）=\frac{{x}_{0}}{4}$
即在3t₀時(shí)粒子離P的距離$X=\frac{3}{2}{x}_{0}$
在3t₀-4t₀內(nèi)先向下減速，速度第三次減為0的時(shí)間${t}_{3}=\frac{{v}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{{t}_{0}}{3}$
位移${x}_{3}^{′}=\frac{{v}_{3}}{2}{t}_{3}=\frac{{x}_{0}}{6}$
再向上加速，4t₀時(shí)刻的速度${v}_{4}={a}_{2}（{t}_{0}-{t}_{3}）=\frac{2{x}_{0}}{{t}_{0}}$
位移為${x}_{4}=\frac{{v}_{4}}{2}（{t}_{0}-{t}_{3}）=\frac{2{x}_{0}}{3}$
4t₀時(shí)距離P點(diǎn)的距離$X′=X+{x}_{3}^{′}-{x}_{4}=\frac{{x}_{0}}{2}$
在4t₀-5t₀內(nèi)先向上減速，速度減為0的時(shí)間為${t}_{4}=\frac{{v}_{4}}{{a}_{1}}={t}_{0}$
即在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)通過(guò)P點(diǎn)，速度設(shè)為v₅
根據(jù)${v}_{5}^{2}-{v}_{4}^{2}=2{a}_{1}X′$
解得${v}_{5}=\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{t}_{0}}$
答：
（1）第一次速度為0時(shí)離開P點(diǎn)的距離為$\frac{5{x}_{0}}{3}$；
（2）第二次速度為0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{5{t}_{0}}{2}$；
（3）再次通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是電場(chǎng)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，分析方法與力學(xué)分析方法基本相同，關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．