Question

如圖，兩根足夠長的光滑固定平行金屬導(dǎo)軌與水平面成θ角，導(dǎo)軌間距為d，兩導(dǎo)體棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,在t=0時(shí)刻使a沿導(dǎo)軌向上作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將b由靜止釋放，b經(jīng)過一段時(shí)間后也作勻速運(yùn)動(dòng)。已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30⁰，g取10m／s²，不計(jì)兩導(dǎo)棒間的相互作用力。         
（1）若使導(dǎo)體棒b靜止在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒a向上運(yùn)動(dòng)的速度v多大?
（2）若a在平行于導(dǎo)軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，試導(dǎo)出F與b的速率v₂的函數(shù)關(guān)系式并求出v₂的最大值；
（3）在(2)中，當(dāng)t=2s時(shí)，b的速度達(dá)到5.06m/s，2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為13.2J，求該2s內(nèi)力F做的功(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。

Answer 1

⑴v₁="10m/s " ④（1分）
⑵v_m=" 8m/s" （1分）
⑶W_F="14.9J  " （1分）

解：⑴設(shè)a的速度為v₁，則  ① （1分）
對b： ②（1分）    
F_A=mgsinθ ③（1分）
將①②式代入③式得：v₁="10m/s " ④（1分）
⑵設(shè)a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I，
則： ⑤（1分）
對a：mgsinθ + F_A = F    ⑥（2分）
代入數(shù)據(jù)得:   （1分）
設(shè)b的最大速度為v_m，則有：（2分）
代入數(shù)據(jù)得:    v_m=" 8m/s" （1分）
⑶對b：mgsinθ－F_A= ma   （1分）
用微元法計(jì)算b棒的位移, 取任意無限小△t時(shí)間,b棒位移為
對上式兩邊同乘以得   （1分）
代入數(shù)據(jù)并求和得：   8t－x₂ = 2v₂ （1分）
將t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂="5.88m  " （1分）
a的位移：x₁=v₁t =" 2×2" = 4m
由功能關(guān)系知：
  （1分）
代入數(shù)據(jù)得：W_F="14.9J  " （1分）