Question

17．如圖所示，兩根粗細均勻的金屬桿AB和CD的長度均為L，電阻均為R，質(zhì)量分別為3m和m，用兩根等長的、質(zhì)量和電阻均不計的、不可伸長的柔軟導線將它們連成閉合回路，懸跨在絕緣的、水平光滑的圓棒兩側(cè)，AB和CD處于水平．在金屬桿AB的下方有高度為H的水平勻強磁場，磁感強度的大小為B，方向與回路平面垂直，此時CD處于磁場中．現(xiàn)從靜止開始釋放金屬桿AB，經(jīng)過一段時間（AB、CD始終水平），在AB即將進入磁場的上邊界時，其加速度為零，此時金屬桿CD還處于磁場中，在此過程中金屬桿AB上產(chǎn)生的焦耳熱為Q．重力加速度為g，試求：
（1）金屬桿AB即將進入磁場上邊界時的速度v₁；
（2）在此過程中金屬桿CD移動的距離h和通過導線截面的電量q；
（3）設(shè)金屬桿AB在磁場中運動的速度為v₂，通過計算說明v₂大小的可能范圍；
（4）依據(jù)第（3）問的結(jié)果，請定性畫出金屬桿AB在穿過整個磁場區(qū)域的過程中可能出現(xiàn)的速度-時間圖象（v-t圖）．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題，AB棒達到磁場邊界時，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，分別對AB棒和CD棒運用共點力平衡條件列式，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電勢公式、歐姆定律、安培力大小公式，即可求出AB棒即將進入磁場的上邊界時的速度v₁；
（2）對AB棒系統(tǒng)運用能量守恒，抓住重力勢能的減小量等于系統(tǒng)動能的增加量和產(chǎn)生的熱量之和，求出CD移動的距離h．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合電流的定義式求出通過導線截面的電量q．
（3）AB桿與CD桿都在磁場中運動，直到達到勻速，此時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，分別對AB棒和CD棒運用共點力平衡條件和安培力公式，進行列式求解v₂大小的可能范圍．
（4）AB桿以速度v₁進入磁場，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運動，分兩種情況進行討論．

解答 解：（1）AB桿達到磁場邊界時，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，
對AB桿：3mg=2T
對CD桿：2T=mg+BIL
又F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$
解得 v₁=$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）以AB、CD棒組成的系統(tǒng)在此過程中，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒有：
（3m-m）gh-2Q=$\frac{1}{2}$×4mv₁²
則得 h=$\frac{m{v}_{1}^{2}+Q}{mg}$=$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{mg{B}^{4}{L}^{4}}$
通過導線截面的電量 q=I△t=$\frac{△φ}{2R}$=$\frac{BLh}{2R}$=$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{2Rmg{B}^{3}{L}^{3}}$
（3）AB桿與CD桿都在磁場中運動，直到達到勻速，此時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，
對AB桿：3mg=2T+BIL
對CD桿：2T′=mg+BIL
又T′=T，F(xiàn)=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
解得 v₂=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
所以 $\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$＜v₂＜$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（4）AB桿以速度v₁進入磁場，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運動，接下來的運動情況有四種可能性：

點評 本題考查了電磁感應(yīng)與電路、力學和能量的綜合，關(guān)鍵要正確分析導體棒的受力情況，能熟練推導安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$和感應(yīng)電荷量q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$．在平時的學習中需加強這方面的訓練，熟練掌握．