Question

2．在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示，第一象限內(nèi)有豎直向上的勻強電場，第二象限內(nèi)有一水平向右的勻強電場．某種發(fā)射裝置（未畫出）豎直向上發(fā)射出一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（可視為質(zhì)點），該粒子以v₀的初速度從x軸上的A點進入第二象限，并從y軸上的C點沿水平方向進入第一象限后能夠沿水平方向進入第一象限后能夠沿水平方向運動到D點，已知OA、OC距離相等，CD的距離為$\sqrt{3}$OC，E點在D點正下方，位于x軸上，重力加速度為g．則：
（1）求粒子在C點的速度大小以及OC之間的距離；
（2）若第一象限同時存在按如圖乙所示規(guī)律變化的磁場，磁場方向垂直紙面，（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向，圖中B₀，T₀均為未知量），并且在t=$\frac{{T}_{0}}{4}$時刻粒子由C點進入第一象限，且恰好也能通過同一水平線上的D點，速度方向仍然水平．若粒子在第一象限中運動的周期與磁場變化周期相同，求交變磁場變化的周期；
（3）若第一象限仍同時存在按如圖乙所示規(guī)律變化的磁場（以垂直紙面向外的磁場方向為正方形，圖中B₀，T₀均為未知量），調(diào)整圖乙中磁場變化的周期，讓粒子在t=0時刻由C點進入第一象限，且恰好能通過E點，求交變磁場的磁感應強度圖中B₀應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內(nèi)的運動分解為水平方向和豎直方向，在水平方向上受電場力做勻加速直線運動，在豎直方向上受重力做豎直上拋運動，在C點豎直分速度為零，結(jié)合水平位移和豎直位移，抓住等時性，求出C點的速度大小．
（2）作出粒子在復合場中運動的示意圖，結(jié)合粒子運動的周期性，抓住到達D點的速度方向水平，求出磁場變化的周期．
（3）作出粒子恰好通過E點的運動示意圖，結(jié)合帶電粒子在磁場中運動的半徑公式，結(jié)合周期性求出B₀應滿足的條件．

解答 解：（1）豎直方向y=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t，
水平方向x=y=$\frac{{v}_{c}+0}{2}$t
則v_c=v₀
豎直方向上：L_oc=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）因為沒有磁場時粒子能夠沿水平方向到達D點所以應該滿足qE₂=mg，帶電粒子在第一象限將做速度也為v₀的勻速圓周運動，
使粒子從C點運動到同一水平線上的D點，如右圖所示，則有：qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
由位移關系4nR=$\sqrt{3}$L_oc（n=1，2，3…）
粒子在磁場中運動周期T₀′=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
則磁場變化周期T₀=T₀′=$\frac{\sqrt{3}π{v}_{0}}{4ng}$（n=1，2，3…）
（3）使粒子從C點運動到E點，如右圖所示，設粒子運動軌道半徑為R′，則每經(jīng)過磁場的半個周期粒子轉(zhuǎn)過圓心角60°，
nR′=n$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}′}$=2L_oc（n=1，2，3…）
交變磁場磁感應強度應滿足的關系：B₀′=$\frac{nmg}{q{v}_{0}}$（n=1，2，3…）
答：（1）粒子在C點的速度大小為v₀，OC之間的距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．
（2）磁場變化周期為$\frac{\sqrt{3}π{v}_{0}}{4ng}$（n=1，2，3…）；
（3）交變磁場磁感應強度B₀應滿足的條件為B₀′=$\frac{nmg}{q{v}_{0}}$（n=1，2，3…）．

點評 本題中質(zhì)點在復合場運動，分析受力情況，確定質(zhì)點的運動情況是解題的基礎．結(jié)合粒子運動的周期性，運用數(shù)學幾何知識綜合求解．