Question

18．某星際探測是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題．如圖9所示，某探測器從空間的O點沿直線ON從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，三個月后與地球相遇于P點，再經(jīng)二個月與地球相遇于Q點，已知萬有引力常量G，地球公轉周期為T，試導出估算太陽質量的關系式（用上述物理量表達）？

Answer 1

分析 地球繞太陽做勻速圓周運動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉周期與半徑的關系式；
對于探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，根據(jù)運動學公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關系．由幾何知識得到：PQ對應的圓心角，得到地球公轉半徑與PQ的關系，即可聯(lián)立求得太陽的質量

解答 解：對地球太陽對地球的萬有引力提供圓周運動向心力有：
  $\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
對探測器 PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}a{（\frac{5T}{12}）^2}-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}=\frac{1}{18}a{T^2}$
二個月時間為地球公轉周期的$\frac{1}{6}$即為$\frac{1}{6}T$，則θ=60⁰，由幾何關系得r=PQ 
聯(lián)立以上各式得$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$
答：太陽質量的關系式為：$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$．

點評 本題是萬有引力與勻變速運動的綜合，關鍵找出地球與探測器之間的時間關系，運用幾何知識得到PQ與r的關系．