在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。
分類原則：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復、分層次，不越級討論。
分類方法：明確討論對象，確定對象的全體 → 確定分類標準，正確進行分類 → 逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果 → 歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A
B，那么a的范圍是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0<a<1
2. 若a>0且a≠1，p＝log
(a
+a+1)，q＝log(a
+a+1)，則p、q的大小關(guān)系是_____。
A. p＝q B. p<q C. p>q D.當a>1時，p>q；當0<a<1時，p<q
3. 函數(shù)y＝
+
+
+
的值域是_________。
4. 若θ∈(0, 
)，則
的值為_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5. 函數(shù)y＝x+
的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6. 正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_____。
A. 
B.
C.
D.
或
7. 過點P(2,3)，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x+y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x+y－5＝0 D.不能確定
Ⅱ、示范性題組：
例1. 設0<x<1，a>0且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1+x)|的大小。
[分析] 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關(guān)，而分兩類討論。
[解] ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1+x>1
① 當0<a<1時，|log(1－x)|－|log(1+x)|＝log(1－x)－[－log(1+x)]＝log(1－x)>0;
② 當a>1時，|log(1－x)|－|log(1+x)|＝…
由①、②可知，…
例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： ①. C
A∪B且C中含有3個元素；
②. C∩A≠φ 。
[分析] 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。
[解] C
.C
+C
.C
+C
.C
＝1084
[另解](排除法)：
[注]本題是“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是正確分類，達到分類完整及每類互斥的要求。并且要確定C中元素如何取法。
例3. 設{a
}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和?！?①. 證明： 
<lgS
； ②.是否存在常數(shù)c>0，使得
＝lg(S－c)成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)
[分析] 要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應用比較法而求解。
[解] 設公比q，則a
>0，q>0
①． …
②. 要使＝lg(S－c)成立，則必有(S－c)(S
－c)＝(S－c),
分兩種情況討論如下：
當q＝1時，S＝na，則
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n+2)a－c]－[(n+1)a－c]＝－a<0
當q≠1時，S＝
，則(S－c)(S－c)－(S－c)＝[
－c][ 
－c]－[
－c]＝－aq
[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－
<0
∴對數(shù)式無意義
由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得＝lg(S－c)成立。
[注] 本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為：證明
>log
S 。
例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進行分類。(概念、性質(zhì)型)
例4. 設函數(shù)f(x)＝ax－2x+2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍。
      
1
4 x
1
4 x |
[分析] 含參的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的值域問題，先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置進行分類討論。(也屬數(shù)形結(jié)合法)
[解]當a>0時，f(x)＝a(x－
)+2－
∴ 
或
或
∴ a≥1或
<a<1或φ 即
a>；
當a<0時，
，解得φ；
當a＝0時，f(x)＝－2x+2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意
由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a> 。
例5. 解不等式
>0 (a為常數(shù)，a≠－)
[分析] 含參不等式，參數(shù)a決定了2a+1的符號和兩根－4a、6a的大小，故對a>0、a＝0、－<a<0、a<－分別加以討論。
[解] 2a+1>0時，a〉－；
－4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論：
當a>0時，(x+4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
當a＝0時，x>0，解得：x≠0；
當－<a<0時，(x+4a)(x－6a)>0，解得:
x<6a或x>－4a；
當a>－時，(x+4a)(x－6a)<0，解得：
6a<x<－4a 。
綜上所述，……
[注] 含參問題，結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而分類討論。(含參型)
例6. 設a≥0,在復數(shù)集C中，解方程：z+2|z|＝a ?！?(90年全國高考)
[解] ∵ z∈R，由z+2|z|＝a得：z∈R； ∴ z為實數(shù)或純虛數(shù)
當z∈R時，|z|+2|z|＝a,解得：|z|＝－1+
∴ z＝±(－1+)；
當z為純虛數(shù)時，設z＝±yi (y>0)， ∴ －y+2y＝a 解得：y＝1±
(0≤a≤1)
由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i
[注]本題用標準解法(設z＝x+yi再代入原式得到一個方程組，再解方程組)過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?！?(簡化型)
[另解] 設z＝x+yi，代入得 x－y+2
+2xyi＝a； ∴ 
當y＝0時，…
例7. 在xoy平面上給定曲線y＝2x，設點A(a,0)，a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達式?！ ?(本題難度0.40)
[分析] 求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。
[解] 設M(x,y)為曲線y＝2x上任意一點，則
|MA|＝(x－a)+y＝(x－a)+2x＝x－2(a－1)x+a＝[x－(a－1)]+(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：
當a－1≥0時，x＝a－1取最小值，即|MA}
＝2a－1；
當a－1<0時，x＝0取最小值，即|MA}＝a；
綜上所述，有f(a)＝
。
Ⅲ、鞏固性題組：
1. 若log
<1，則a的取值范圍是_____。
A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞)
D. (,+∞)
2. 非零實數(shù)a、b、c，則
+
+
+
的值組成的集合是_____。
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_____。
A.當x＝2a時有最小值0 B.當x＝3a時有最大值0
C.無最大值，且無最小值 D.有最小值但無最大值
4. 設f(x,y)＝0是橢圓方程，f
(x,y)＝0是直線方程，則方程f(x,y)+λf(x,y)＝0 (λ∈R)表示的曲線是_____。
A.只能是橢圓 B.橢圓或直線 C.橢圓或一點 D.還有上述外的其它情況
5. 函數(shù)f(x)＝ax－2ax+2+b (a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正確
6.方程(x－x－1)
＝1的整數(shù)解的個數(shù)是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空間不共面的4個點距離相等的平面的個數(shù)是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. z∈C，方程z－3|z|+2＝0的解的個數(shù)是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 復數(shù)z＝a+ai (a≠0)的輻角主值是______________。
10.解關(guān)于x的不等式： 2log
(2x－1)>log(x－a) (a>0且a≠1)
11.設首項為1，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項和為S，又設T＝
，求T 。
12. 若復數(shù)z、z、z在復平面上所對應三點A、B、C組成直角三角形，且|z|＝2，求z 。
13. 有卡片9張，將0、1、2、…、8這9個數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當作9用，問可組成多少個不同的三位數(shù)。
14. 函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x－2(m+1)x－1的圖像與x軸只有一個公共點，求參數(shù)m的值及交點坐標。