7. 過點P(2,3),且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_____。
A. 3x-2y=0 B. x+y-5=0 C. 3x-2y=0或x+y-5=0
D.不能確定
Ⅱ、示范性題組:
例1. 設(shè)0<x<1,a>0且a≠1,比較|log(1-x)|與|log(1+x)|的大小。
[分析] 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關(guān),而分兩類討論。
[解] ∵
0<x<1 ∴ 0<1-x<1 , 1+x>1
① 當0<a<1時,|log(1-x)|-|log(1+x)|=log(1-x)-[-log(1+x)]=log(1-x)>0;
② 當a>1時,|log(1-x)|-|log(1+x)|=…
由①、②可知,…
例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素,A∩B含有4個元素,試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù): ①. CA∪B且C中含有3個元素;
②. C∩A≠φ 。
[分析] 由已知并結(jié)合集合的概念,C中的元素分兩類:①屬于A 元素;②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。
[解] C.C+C.C+C.C=1084
[另解](排除法):
[注]本題是“包含與排除”的基本問題,正確地解題的前提是正確分類,達到分類完整及每類互斥的要求。并且要確定C中元素如何取法。
例3. 設(shè){a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,S是前n項和?!?①. 證明: <lgS; ②.是否存在常數(shù)c>0,使得=lg(S-c)成立?并證明結(jié)論。(95年全國理)
[分析] 要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形;再應用比較法而求解。
[解] 設(shè)公比q,則a>0,q>0
①. …
②. 要使=lg(S-c)成立,則必有(S-c)(S-c)=(S-c),
分兩種情況討論如下:
當q=1時,S=na,則
(S-c)(S-c)-(S-c)=(na-c)[(n+2)a-c]-[(n+1)a-c]=-a<0
當q≠1時,S=,則(S-c)(S-c)-(S-c)=[-c][ -c]-[-c]=-aq[a-c(1-q)]
∵ aq≠0 ∴ a-c(1-q)=0即c=
而S-c=S-=-<0
∴對數(shù)式無意義
由上綜述,不存在常數(shù)c>0, 使得=lg(S-c)成立。
[注] 本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為:證明>logS 。
例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的,我們解決時按要求進行分類。(概念、性質(zhì)型)
例4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍。
1
4 x
1
4 x
[分析] 含參的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的值域問題,先對開口方向討論,再對其拋物線對稱軸的位置進行分類討論。(也屬數(shù)形結(jié)合法)
[解]當a>0時,f(x)=a(x-)+2-
∴ 或或
∴ a≥1或<a<1或φ 即
a>;
當a<0時,,解得φ;
當a=0時,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合題意
由上而得,實數(shù)a的取值范圍是a> 。
例5. 解不等式>0 (a為常數(shù),a≠-)
[分析] 含參不等式,參數(shù)a決定了2a+1的符號和兩根-4a、6a的大小,故對a>0、a=0、-<a<0、a<-分別加以討論。
[解] 2a+1>0時,a〉-;
-4a<6a時,a>0 。 所以分以下四種情況討論:
當a>0時,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a;
當a=0時,x>0,解得:x≠0;
當-<a<0時,(x+4a)(x-6a)>0,解得:
x<6a或x>-4a;
當a>-時,(x+4a)(x-6a)<0,解得:
6a<x<-4a 。
綜上所述,……
[注] 含參問題,結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而分類討論。(含參型)
例6. 設(shè)a≥0,在復數(shù)集C中,解方程:z+2|z|=a ?!?(90年全國高考)
[解] ∵ z∈R,由z+2|z|=a得:z∈R; ∴ z為實數(shù)或純虛數(shù)
當z∈R時,|z|+2|z|=a,解得:|z|=-1+ ∴ z=±(-1+);
當z為純虛數(shù)時,設(shè)z=±yi (y>0), ∴ -y+2y=a 解得:y=1± (0≤a≤1)
由上可得,z=±(-1+)或±(1±)i
[注]本題用標準解法(設(shè)z=x+yi再代入原式得到一個方程組,再解方程組)過程十分繁難,而挖掘隱含,對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?!?(簡化型)
[另解] 設(shè)z=x+yi,代入得 x-y+2+2xyi=a; ∴
當y=0時,…
例7. 在xoy平面上給定曲線y=2x,設(shè)點A(a,0),a∈R,曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達式。 (本題難度0.40)
[分析] 求兩點間距離的最小值問題,先用公式建立目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題,而引起對參數(shù)a的取值討論。
[解] 設(shè)M(x,y)為曲線y=2x上任意一點,則
|MA|=(x-a)+y=(x-a)+2x=x-2(a-1)x+a=[x-(a-1)]+(2a-1)
由于y=2x限定x≥0,所以分以下情況討論:
當a-1≥0時,x=a-1取最小值,即|MA}=2a-1;
當a-1<0時,x=0取最小值,即|MA}=a;
綜上所述,有f(a)= 。
Ⅲ、鞏固性題組: